On étudie différentes propriétés d’approximation pour des espaces homogènes $X$ (à stabilisateur fini) de ${\mathrm{GL}}_n$ sur un corps de nombres. On discute également du lien avec le problème de Galois inverse et on établit une formule pour le groupe de Brauer non ramifié de $X$.

Soient $K$ un corps global, $T$ un $K$-tore, $S$ un ensemble fini de places de $K$. On note $K_v$ le complété de $K$ en $v\in S$. Soit $T\left(K\right)$, resp. $T\left(K_v\right)$, le groupe des points $K$-rationnels, resp. $K_v$-rationnels, de $T$. Notons $T\left(O_v\right)\subset T\left(K_v\right)$ le sous-groupe compact maximal. Nous montrons que pour $T$ et $S$ convenables l’application $T\left(K\right)\to {\prod }_{v\in S}T\left(K_v\right)/T\left(O_v\right)$ induite par l’application diagonale n’est pas surjective. Cela implique que pour $v$ convenable le groupe $T\left(O_v\right)$ ne couvre pas forcément toutes les classes de $R$-équivalence de $T\left(K_v\right)$. Lorsque $K$ est un corps de fonctions d’une variable...