Let ${𝔽}_q\left[t\right]$ denote the polynomial ring over ${𝔽}_q$, the finite field of $q$ elements. Suppose the characteristic of ${𝔽}_q$ is not $2$ or $3$. We prove that there exist infinitely many $N\in \mathbb{N}$ such that the set $\{f\in {𝔽}_q\left[t\right]:degf<N\}$ contains a Sidon set which is an additive basis of order $3$.

In this article we extend the algebraic theory of polynomial rings, formalized in Mizar [1], based on [2], [3]. After introducing constant and monic polynomials we present the canonical embedding of R into R[X] and deal with both unit and irreducible elements. We also define polynomial GCDs and show that for fields F and irreducible polynomials p the field F[X]/ is isomorphic to the field of polynomials with degree smaller than the one of p.

En utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy, nous donnons une démonstration élémentaire de la transcendance de la série formelle $\Pi$ ainsi que d’autres séries formelles à coefficients dans un corps fini.

En 1976, Baum et Sweet ont donné le premier exemple d’une série formelle algébrique de degré $3$ sur ${𝔽}_2\left(T\right)$ ayant un développement en fraction continue dont les quotients partiels sont tous des polynômes en $T$ de degré $1$ ou $2$. Cette série formelle est l’unique solution dans le corps ${𝔽}_2\left(\left(T^{-1}\right)\right)$ de l’équation $T{X}^3+X-T=0$. En 1986, Mills et Robbins ont décrit un algorithme permettant de calculer le développement en fraction continue de la série de Baum et Sweet.Dans cet article, nous considérons les équations plus générales...