Pour trois fonctions non-négatives intégrables sur ${\mathbf{R}}^n$, $f,g$ et $h$, telles que $\left(h\right(x+y){)}^{-1/n}\le (f\left(x\right){)}^{-1/n}+\left(g\right(y){)}^{-1/n}$, Borelll a établi l’inégalité $\int h\left(z\right)dz\ge \min \int f\left(x\right)dx,\int g\left(y\right)dy)$. Nous déterminons les conditions précises où l’inégalité sera stricte. La clef de cette analyse est une nouvelle caractérisation des fonctions convexes mesurables.