On définit une notion de convexité géométrique pour des ensembles ouverts de ${\mathbf{C}}^n$. On démontre des résultats de cohomologie locale précisant la topologie du dernier groupe de cohomologie non nul; la cohomologie considérée ici est la cohomologie de Dolbeault pour les formes différentielles.

Dans cet article, je montre qu’un domaine $D$ est hyperbolique pour la pseudodistance intégrée de Carathéodory $c_D^i$ (c’est-à-dire que $c_D^i$ est une distance sur $D$) si et seulement si la pseudodistance de Carathéodory $c_D$ vérifie la propriété de séparation faible suivante : tout point $x$ de $D$ possède un voisinage $V$ tel que, pour tout point $y$ de $V$, $y\ne x$, $c_D(x,y))\ne 0$. Je construis aussi un exemple d’un domaine $c_D^i$-hyperbolique et non $c_D$-hyperbolique.

An example of a finite dimensional analytic space is exhibited, for which the Carathéodory integrated distance and the Carathéodory distance, although defining the same topology, are respectively complete and incomplete.

In this Note, I study existence and unicity of holomorphic retractions on complex submanifolds of dimension 1.