In this paper we study the asymptotic behavior of solutions to the damped, nonlinear vibration equation with self-interaction $$\ddot{u}=-\gamma \dot{u}+{m(\parallel \nabla u\parallel }^2{)\Delta u-\delta |u|}^{\alpha }u+f,$$ which is known as degenerate if $m(·)\ge 0$, and non-degenerate if $m(·)\ge m_0>0$. We would like to point out that, to the author’s knowledge, exponential decay for this type of equations has been studied just for the special cases of $\alpha$. Our aim is to extend the validity of previous results in [5] to $\alpha \ge 0$ both to the degenerate and non-degenerate cases of $m$. We extend our results to equations with...

This note is concerned with the linear Volterra equation of hyperbolic type $${\partial }_{tt}u\left(t\right)-\alpha \Delta u\left(t\right)+{\int }_0^t\mu \left(s\right)\Delta u(t-s)ds=0$$ on the whole space ℝN. New results concerning the decay of the associated energy as time goes to infinity were established.

Mathematics Subject Classification: 26A33, 45K05, 60J60, 60G50, 65N06, 80-99.By generalization of Ehrenfest’s urn model, we obtain discrete approximations to spatially one-dimensional time-fractional diffusion processes with drift towards the origin. These discrete approximations can be interpreted (a) as difference schemes for the relevant time-fractional partial differential equation, (b) as random walk models. The relevant convergence questions as well as the behaviour for time tending to infinity...

Fissato lo spazio di Sobolev $H^{1,2}$ come ambiente del problema dinamico per un corpo viscoelastico unidimensionale si dimostra un teorema di unicità per la classe delle funzioni di rilassamento convesse. Si fa inoltre vedere come tale unicità sia strettamente legata allo spazio ambiente considerato.

In questa nota si completa la studio (iniziato in [1]) della caratterizzazione delle funzioni di rilassamento per le quali il problema dinamico della viscoelasticità lineare, con condizioni di spostamento nullo agli estremi, risulta ben posto nello spazio di Sobolev $H^{1,2}$. Precisamente, per un'opportuna classe di sollecitazioni esterne, si dimostra l'esistenza della soluzione, se le funzioni di rilassamento sono positive, convesse ed hanno il modulo di elasticità all'equilibrio strettamente maggiore...