Im Artikel werden die Integral- und Differentialgrundinvarianten (Bogen, Krümmung) der ebenen Kurve angesichts der äquiformen Gruppe ($ℰ$-Gruppe) bei der Anwendung der komplexen Symbolik hergeleitet. Weiter werden die $ℰ$-minimalen Kurven, $ℰ$-Geraden und $ℰ$-Kreise von der $ℰ$-Geometrie festgestellt; im euklidischen Modell handelt es sich um die Geraden, Kreise und logarithmischen Spiralen.

Im Artikel wird die Möbiussche Geometrie im Halbraum $H^3\equiv \{(x_1,x_2,x_3)\in R^3\left|x_3>0\}\right.$ mit Hilfe der Quaternionen über Darstellung (1) $z=u+vj$, wo $u=u_1+i{u}_2\in C,v>0,i^2=j^2=-1$, untersucht. Zuerst wird die Operierung der durch $SL(2,C)$ represäntierten Möbiusschen Gruppe im Halbraum $H^3$ definiert. Die Punkte im $H^3$ werden durch die Quaternionen (1) beschrieben. Es wird gezeigt, dass diese Gruppe transitiv im $H^3$ operiert. Weiter werden die algebraischen Grundinvarianten gefunden. Hier werden der Begriff der $ℳ$ - Bewegung im $H^3$ und einige weitere kinematische Grundbegrife eingeführt....