Nous améliorons les meilleures bornes supérieures et inférieures connues pour la fonction $X$ d’Erdös et Graham définie par $X\left(h\right)={max}_{h𝒜\sim \mathbb{N}}{max}_{a\in {𝒜}^{*}}{\mathrm{ord}}^{*}\left(𝒜\setminus a\right)$, où le premier maximum est pris sur toutes les bases (exactes) $𝒜$ d’ordre au plus $h$, où ${𝒜}^{*}$ désigne le sous-ensemble de $𝒜$ composé des éléments $a$ tels que $𝒜\setminus \left\{a\right\}$ soit encore une base et où, enfin, ${\mathrm{ord}}^{*}\left(𝒜\right)$ désigne l’ordre (exact) de $𝒜$. Notre étude nous conduira, entre autres, à prouver un nouveau résultat additif général découlant de la méthode isopérimétrique et à étudier trois problèmes additifs...

Le théorème de Belyi affirme que sur toute courbe algébrique $C$ lisse projective et géométriquement connexe, définie sur $\overline{\mathbb{Q}}$, il existe une fonction $f$ non ramifiée en dehors de $\left\{0,1,\infty \right\}$. Nous montrons que cette fonction peut être choisie sans automorphismes, c’est-à-dire telle que pour tout automorphisme non trivial $a$ de $C$, on ait $f\circ 𝔞\ne f$. Nous en déduisons que si $𝕂\subset ℂ$ est une extension finie de $\mathbb{Q}$, toute $𝕂$-classe d’isomorphisme de courbes algébriques lisses projectives géométriquement connexes peut être caractérisée...

We give a simple proof of $L(1,\chi )\sqrt{q}\gg 2^{\omega \left(q\right)}$ when $\chi$ is an odd primitiv quadratic Dirichlet character of conductor $q$. In particular we do not use the Dirichlet class-number formula.

Let ${\Phi }_n\left(q\right)$ denote the $n$th cyclotomic polynomial in $q$. Recently, Guo, Schlosser and Zudilin proved that for any integer $n>1$ with $n\equiv 1(mod4)$, $$\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{(q^{-1};q^2)}_k^2{(q^{-2};q^4)}_k}{{(q^2;q^2)}_k^2{(q^4;q^4)}_k}{q}^{6k}\equiv 0(mod{\Phi }_n{\left(q\right)}^2),$$ where ${(a;q)}_m=(1-a)(1-aq)\cdots (1-a{q}^{m-1})$. In this note, we give a generalization of the above $q$-congruence to the modulus ${\Phi }_n{\left(q\right)}^3$ case. Meanwhile, we give a corresponding $q$-congruence modulo ${\Phi }_n{\left(q\right)}^2$ for $n\equiv 3(mod4)$. Our proof is based on the ‘creative microscoping’ method, recently developed by Guo and Zudilin, and a ${}_4{\varphi }_3$ summation formula.