Let [0;a₁(x),a₂(x),…] be the regular continued fraction expansion of an irrational x ∈ [0,1]. We prove mainly that, for α > 0, β ≥ 0 and for almost all x ∈ [0,1], $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\alpha /log2$ if α < 1 and β ≥ 0, $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$ if α = 1 and β < 1, and, if α > 1 or α = 1 and β >1, $lim in{f}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$, $lim su{p}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\infty$, where $a{ⁿ}_i\left(x\right)=a_i\left(x\right)$ if $a_i\left(x\right)\le n^{\alpha }lo{g}^{\beta }n$ and $a{ⁿ}_i\left(x\right)=0$ otherwise, for all i ∈ 1,…,n.

Soit $1=d_1\&lt;d_2\&lt;\cdots \&lt;d_r=n$ la suite croissante des diviseurs d’un entier $n$. Nous étudions ici certaines propriétés de l’ensemble des couples $(d_i,d_{i+1})$, $1\&lt;1\le r-1$, en rapport avec la conjecture d’Erdös affirmant que l’inégalité ${min}_{i=1}^{r-1}\frac{d_{i+1}}{d_i}\le 2$ a lieu pour presque tout $n$.

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F:\mathbb{Q}]$, un système de générateurs du $p$-groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$, ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_1({\psi }^{-1})$. Des exemples numériques sont donnés pour $p=3$ et $p=5$, dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$-groupe des classes possédant une $\chi$-composante non monogène (pour un caractère...

Pour décrire la structure galoisienne à $\mathbf{Z}\left[G\right]$-isomorphisme près du quotient par $\{\pm 1\}$ du groupe des unités d’une extension abélienne absolue de groupe de Galois $G$ de type $(p,p)$, on amorce la description des $\mathbf{Z}\left[G\right]$-modules de type fini libres sur $\mathbf{Z}$ dont le caractère est contenu dans la représentation d’augmentation. La classification est complète pour les modules de rang inférieur ou égal à 3 ; elle est appliquée à la description donnée par T. Kubota des unités d’un corps biquadratique non cyclique en fonction des...

Soit $K$ un corps de nombres galoisien sur $\mathbb{Q}$ de degré impair, et soit $G$ son groupe de Galois. Alors il existe un unique idéal fractionnaire de $K$ qui soit unimodulaire pour la forme quadratique ${Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x^2)$. Cet idéal est la racine carrée de la codifférente, et est noté $A_K$. Dans cet article, on décrit un représentant explicite de la classe de $\mathbb{Z}\left[G\right]$-isométrie du couple $(A_K,{Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x^2\left)\right)$, ne dépendant que des nombres premiers $p$ sauvagement ramifiés dans $K$, et dont le degré de ramification est différent de $p$.