Nous construisons des familles ordinaires $p$-adiques de formes modulaires pour le groupe ${\mathrm{GSp}}_{2g}$. Notre travail généralise et précise des travaux antérieurs de Hida.

Les groupes d’homotopie du groupe (stabilisé) $G^0\left(X\right)$ des opérateurs pseudodifférentiels inversibles d’ordre zéro agissant sur une variété compacte sans bord $X$ sont calculés en termes de la $K$-théorie du fibré cosphérique $S^{*}X$. Du même coup, on montre que le sous-groupe des perturbations compactes inversibles de l’identité est faiblement rétractile dans $G^0\left(X\right)$. Les résultats sont aussi adaptés au cas des opérateurs suspendus. Des applications à la théorie de l’indice et pour le déterminant résiduel de Simon Scott...

En utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy, nous donnons une démonstration élémentaire de la transcendance de la série formelle $\Pi$ ainsi que d’autres séries formelles à coefficients dans un corps fini.

Soient $𝒞$ une courbe algébrique affine de ${ℂ}^m$ définie sur $\mathbb{Q}$, et $\underset{\_}{\theta }$ un point de $𝒞$ qui n’est pas algébrique. On démontre l’existence d’une infinité de “bonnes” approximations de $\underset{\_}{\theta }$ par des points algébriques de $𝒞$ de degré et taille bornés, les majorants du degré et de la taille étant choisis à l’intérieur de suites satisfaisant certaines conditions de croissance modérée. On établit aussi une minoration du degré de ces bonnes approximations, raffinant ainsi un résultat de Wirsing. Comme corollaire, nous...

Étant donnée une extension galoisienne $E/\mathbf{Q}$ de groupe de Galois $G$ diédral, on montre que l’anneau $B$ des entiers de $E$ est un $\mathbf{Z}\left[G\right]$-module isomorphe à l’ordre formé des éléments de $\mathbf{Q}\left[G\right]$ qui transportent $B$ dans lui-même (ordre décrit explicitement suivant la ramification de l’extension $E/\mathbf{Q}$. On a rattaché cette étude à la recherche, pour chaque ordre $𝔇$ de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{Q}\left[G\right]$ contenant $\mathbf{Z}\left[G\right]$, d’invariants caractérisant à un isomorphisme près les modules sur $𝔇$, et qui permettent notamment un calcul du groupe des classes projectives...

Soient $p_1,p_2,...,p_n$ des nombres premiers distincts $\not\equiv -1\left(mod4\right)$, $d:=p_1{p}_2\cdots p_n$ et $k_n=\mathbf{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},...,\sqrt{p_n})$. On peut approcher le $2$-rang du groupe de classes des corps $k_n$ en étudiant celui du corps $k_m\left(\sqrt{d}\right)$ pour un entier $m\<n$. Dans cet article, on traite le cas où $m=2$ ou $3$. Comme application, on déduit que le rang du $2$-groupe de classes de $k_4$ est au moins égal à deux (on savait déjà grâce à un résultat de Fröhlich que le groupe de classes de $k_4$ est toujours d’ordre pair). On en déduit également la liste de tous les corps multiquadratiques $k_n$ ayant un $2$-groupe de classes...