On étudie l’approximation des fonctions holomorphes dans un ouvert de ${\mathbf{C}}^n$, qui satisfont des hypothèses de croissance, par des fonctions holomorphes dans un ouvert plus grand et qui satisfont des hypothèses de croissance plus strictes. Les hypothèses de croissance sont définies par des poids $\delta ,{\delta }^{\text{'}}$, avec ${\delta }^{\text{'}}\ge \delta$, auxquels sont associées des algèbres $𝒪\left(\delta \right),𝒪\left({\delta }^{\text{'}}\right)$. On établit en particulier un théorème d’approximation des fonctions de $𝒪\left(\delta \right)$ par celles de $𝒪\left({\delta }^{\text{'}}\right)$ lorsque $\delta$ a une propriété de convexité convenable relativement aux fonctions...

We apply pluripotential theory to establish results in ${ℝ}^k$ concerning uniform approximation by functions of the form wⁿPₙ where w denotes a continuous nonnegative function and Pₙ is a polynomial of degree at most n. Then we use our work to show that on the intersection of compact sections $\Sigma \subset {ℝ}^k$ a continuous function on Σ is uniformly approximable by θ-incomplete polynomials (for a fixed θ, 0 < θ < 1) iff f vanishes on θ²Σ. The class of sets Σ expressible as the intersection of compact sections includes...

Soit $X$ un espace de Banach complexe, et notons $B\left(R\right)\subset X$ la boule de rayon $R$ centrée en $0$. On considère le problème d’approximation suivant: étant donnés $0\&lt;r\&lt;R$, $ϵ\&gt;0$ et une fonction $f$ holomorphe dans $B\left(R\right)$, existe-t-il toujours une fonction $g$, holomorphe dans $X$, telle que $|f-g|\&lt;ϵ$ sur $B\left(r\right)$? On démontre que c’est bien le cas si $X$ est l’espace $l^1$ des suites sommables.

Nous montrons ici un théorème d’approximation diophantienne entre le corps des séries formelles en plusieurs variables et son complété pour la topologie de Krull.

In the present paper, we study the polynomial approximation of entire functions of several complex variables. The characterizations of generalized order and generalized type of entire functions of slow growth have been obtained in terms of approximation and interpolation errors.

Let $X$ be a complex Banach space. Recall that $X$ admits afinite-dimensional Schauder decompositionif there exists a sequence ${\left\{X_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ of finite-dimensional subspaces of $X,$ such that every $x\in X$ has a unique representation of the form $x={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n,$ with $x_n\in X_n$ for every $n.$ The finite-dimensional Schauder decomposition is said to beunconditionalif, for every $x\in X,$ the series $x={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n,$ which represents $x,$ converges unconditionally, that is, ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_{\pi \left(n\right)}$ converges for every permutation $\pi$ of the integers. For short, we say that $X$ admits an unconditional F.D.D.We...

Let $X$ be a Banach space and $B\left(R\right)\subset X$ the ball of radius $R$ centered at $0$. Can any holomorphic function on $B\left(R\right)$ be approximated by entire functions, uniformly on smaller balls $B\left(r\right)$? We answer this question in the affirmative for a large class of Banach spaces.