Infinitésimal -adic topos of a smooth scheme I
Alberto Arabia[1]; Zoghman Mebkhout[1]
- [1] Université Paris 7 - Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu UMR CNRS 7586 175 rue de Chevaleret 75013 Paris (France)
Annales de l’institut Fourier (2010)
- Volume: 60, Issue: 6, page 1905-2094
- ISSN: 0373-0956
Access Full Article
topAbstract
topHow to cite
topArabia, Alberto, and Mebkhout, Zoghman. "Sur le Topos infinitésimal $p$-adique d’un schéma lisse I." Annales de l’institut Fourier 60.6 (2010): 1905-2094. <http://eudml.org/doc/116325>.
@article{Arabia2010,
abstract = {Afin de disposer des opérations cohomologiques aussi souples que possible pour la cohomologie de de Rham $p$-adique, le but principal de ce mémoire est de résoudre intrinsèquement du point de vue cohomologique le problème des relèvements des schémas lisses et de leurs morphismes de la caractéristique $p>0$ à la caractéristique nulle ce qui a été l’une des difficultés centrales de la théorie de la cohomologie de de Rham des schémas algébriques en caractéristique positive depuis le début. Nous montrons que, bien que les schémas lisses et leurs morphismes ne se relèvent pas en général du point de vue géométrique, tout se passe comme si c’était bien le cas du point de vue cohomologique, ce qui est conforme à la Théorie des Motifs de Grothendieck. On en déduit la factorisation $p$-adique de la fonction Zêta d’une variété algébrique lisse sur un corps fini, éventuellement ouverte, qui est le résultat test de nos méthodes.Soit $V$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques $(p, 0)$ de corps résiduel $k$ et de corps de fractions $K$. On définit la cohomologie de de Rham $p$-adique d’un schéma lisse sur $k$, à coefficients qui sont des espaces vectoriels sur $K$ et on définit les opérations cohomologiques pour un morphisme de schémas lisses sur $k$. On montre que l’on obtient en particulier un foncteur contravariant entre la catégorie de tous les schémas lisses et séparés sur $k$ et la catégorie dérivée de la catégorie des espaces vectoriels sur $K$. On montre la suite exacte de Gysin pour tout couple de schémas lisses, ce qui permet en particulier de définir la classe de cohomologie d’un cycle dans le cas d’un corps de base parfait. On montre le lemme de Poincaré-Künneth sur une base lisse.},
affiliation = {Université Paris 7 - Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu UMR CNRS 7586 175 rue de Chevaleret 75013 Paris (France); Université Paris 7 - Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu UMR CNRS 7586 175 rue de Chevaleret 75013 Paris (France)},
author = {Arabia, Alberto, Mebkhout, Zoghman},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {dagadic algebras; $p$-adic de Rham cohomology; $p$-adique de Rham complex; factorization of the ZÂta function; fonctoriality; group of automorphisms; transfert module; special module; $p$-adic differential operators; cohomological operations; flat liftings; dagadic schemes; infinitÂsimal site; Gysin sequence; infinitesimal topos},
language = {fre},
number = {6},
pages = {1905-2094},
publisher = {Association des Annales de l’institut Fourier},
title = {Sur le Topos infinitésimal $p$-adique d’un schéma lisse I},
url = {http://eudml.org/doc/116325},
volume = {60},
year = {2010},
}
TY - JOUR
AU - Arabia, Alberto
AU - Mebkhout, Zoghman
TI - Sur le Topos infinitésimal $p$-adique d’un schéma lisse I
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2010
PB - Association des Annales de l’institut Fourier
VL - 60
IS - 6
SP - 1905
EP - 2094
AB - Afin de disposer des opérations cohomologiques aussi souples que possible pour la cohomologie de de Rham $p$-adique, le but principal de ce mémoire est de résoudre intrinsèquement du point de vue cohomologique le problème des relèvements des schémas lisses et de leurs morphismes de la caractéristique $p>0$ à la caractéristique nulle ce qui a été l’une des difficultés centrales de la théorie de la cohomologie de de Rham des schémas algébriques en caractéristique positive depuis le début. Nous montrons que, bien que les schémas lisses et leurs morphismes ne se relèvent pas en général du point de vue géométrique, tout se passe comme si c’était bien le cas du point de vue cohomologique, ce qui est conforme à la Théorie des Motifs de Grothendieck. On en déduit la factorisation $p$-adique de la fonction Zêta d’une variété algébrique lisse sur un corps fini, éventuellement ouverte, qui est le résultat test de nos méthodes.Soit $V$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques $(p, 0)$ de corps résiduel $k$ et de corps de fractions $K$. On définit la cohomologie de de Rham $p$-adique d’un schéma lisse sur $k$, à coefficients qui sont des espaces vectoriels sur $K$ et on définit les opérations cohomologiques pour un morphisme de schémas lisses sur $k$. On montre que l’on obtient en particulier un foncteur contravariant entre la catégorie de tous les schémas lisses et séparés sur $k$ et la catégorie dérivée de la catégorie des espaces vectoriels sur $K$. On montre la suite exacte de Gysin pour tout couple de schémas lisses, ce qui permet en particulier de définir la classe de cohomologie d’un cycle dans le cas d’un corps de base parfait. On montre le lemme de Poincaré-Künneth sur une base lisse.
LA - fre
KW - dagadic algebras; $p$-adic de Rham cohomology; $p$-adique de Rham complex; factorization of the ZÂta function; fonctoriality; group of automorphisms; transfert module; special module; $p$-adic differential operators; cohomological operations; flat liftings; dagadic schemes; infinitÂsimal site; Gysin sequence; infinitesimal topos
UR - http://eudml.org/doc/116325
ER -
References
top- A. Arabia, Relèvements des algèbres lisses et de leurs morphismes, Comment. Math. Helv. 76 (2001), 607-639 Zbl1063.13009MR1881700
- A. Arabia, Z. Mebkhout, Sur le Topos infinitésimal -adique d’un schéma lisse II
- P. Berthelot, Cohomologie -cristalline des schémas : relèvement de la caractéristique à la caractéristique , C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 269 (1969), A297-A300 Zbl0179.26202MR246882
- P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique , (1974), Springer-Verlag, Berlin Zbl0298.14012MR384804
- P. Berthelot, Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique , Mém. Soc. Math. France (N.S.) (1986), 7-32 Zbl0606.14017MR865810
- P. Berthelot, A. Ogus, -isocrystals and de Rham cohomology. I, Invent. Math. 72 (1983), 159-199 Zbl0516.14017MR700767
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Fascicule XXVIII. Algèbre commutative. Chapitre 3 : Graduations, filtrations et topologies. Chapitre 4 : Idéaux premiers associés et décomposition primaire, (1961), Hermann, Paris Zbl0119.03603
- G. Christol, Z. Mebkhout, Sur le théorème de l’indice des équations différentielles -adiques. I, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 43 (1993), 1545-1574 Zbl0834.12005MR1275209
- G. Christol, Z. Mebkhout, Sur le théorème de l’indice des équations différentielles -adiques. II, Ann. of Math. (2) 146 (1997), 345-410 Zbl0929.12003MR1477761
- G. Christol, Z. Mebkhout, Sur le théorème de l’indice des équations différentielles -adiques. III, Ann. of Math. (2) 151 (2000), 385-457 Zbl1078.12500MR1765703
- G. Christol, Z. Mebkhout, Sur le théorème de l’indice des équations différentielles -adiques. IV, Invent. Math. 143 (2001), 629-672 Zbl1078.12501MR1817646
- B. Dwork, On the rationality of the zeta function of an algebraic variety, Amer. J. Math. 82 (1960), 631-648 Zbl0173.48501MR140494
- A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents. I, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) Zbl0122.16102MR217085
- A. Grothendieck, Cristaux, (1966)
- A. Grothendieck, On the de Rham cohomology of algebraic varieties, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1966), 95-103 Zbl0145.17602MR199194
- A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1967) Zbl0153.22301MR238860
- A. Grothendieck, Crystals and the de Rham cohomology of schemes, Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas (1968), 306-358, North-Holland, Amsterdam Zbl0215.37102MR269663
- A. Grothendieck, Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions , Séminaire Bourbaki, Vol. 9 (1995), 41-55, Exp. No. 279, Soc. Math. France, Paris Zbl0199.24802MR1608788
- A. Grothendieck, J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1960) MR217083
- Z. Mebkhout, Le théorème du symbole total d’un opérateur différentiel -adique d’échelon
- Z. Mebkhout, Théorème de dualité pour les -modules cohérents, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 285 (1977), A785-A787 Zbl0409.32006MR457771
- Z. Mebkhout, Sur le théorème de finitude de la cohomologie -adique d’une variété affine non singulière, Amer. J. Math. 119 (1997), 1027-1081 Zbl0926.14007MR1473068
- Z. Mebkhout, L. Narváez-Macarro, Sur les coefficients de de Rham-Grothendieck des variétés algébriques, -adic analysis (Trento, 1989) 1454 (1990), 267-308, Springer, Berlin Zbl0727.14011MR1094858
- Z. Mebkhout, L. Narváez-Macarro, La théorie du polynôme de Bernstein-Sato pour les algèbres de Tate et de Dwork-Monsky-Washnitzer, Ann. Sci. École norm. sup. (4) 24 (1991), 227-256 Zbl0765.14009MR1097693
- Z. Mebkhout, L. Narváez-Macarro, Le théorème du symbole total d’un opérateur différentiel -adique, Revista Matemática Iberoamericana 26 (2010), 825-859
- D. Meredith, Weak formal schemes, Nagoya Math. J. 45 (1972), 1-38 Zbl0207.51502MR330167
- P. Monsky, Formal cohomology. II. The cohomology sequence of a pair, Ann. of Math. (2) 88 (1968), 218-238 Zbl0162.52601MR244272
- P. Monsky, Formal cohomology. III. Fixed point theorems, Ann. of Math. (2) 93 (1971), 315-343 Zbl0213.47501MR321931
- P. Monsky, One dimensional formal cohomology, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1 (1971), 451-456, Gauthier-Villars, Paris Zbl0222.14014MR422279
- P. Monsky, G. Washnitzer, The construction of formal cohomology sheaves, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 52 (1964), 1511-1514 Zbl0134.16403MR171787
- P. Monsky, G. Washnitzer, Formal cohomology. I, Ann. of Math. (2) 88 (1968), 181-217 Zbl0162.52504MR248141
- J.-L. Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque (1996) MR1453167
Citations in EuDML Documents
topNotesEmbed ?
topTo embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.