Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein : Cas non dégénéré

Joël Briançon; Michel Granger; Philippe Maisonobe; M. Miniconi

Annales de l'institut Fourier (1989)

  • Volume: 39, Issue: 3, page 553-610
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
We begin by showing that, given the degree of a differential operator unitary in s and nullifying f s , an algorithm computing the Bernstein’s polynomial of a germ f of an analytical function with isolated singularity can be derived.We then study the case of a non degenerated singularity with respect to its Newton boundary; we give an algorithm to compute the Bernstein’s polynomial of these singularities as well as the associated functional equation. Our method uses a filtration close to Newton’s and an appropriata division theorem. The roots of the Bernstein’s polynomial are then given naturally as weights with respect to that filtration.We give some examples of computation and we find the generic Bernstein’s polynomial of a semi-quasi-homogeneous singularity.

How to cite

top

Briançon, Joël, et al. "Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein : Cas non dégénéré." Annales de l'institut Fourier 39.3 (1989): 553-610. <http://eudml.org/doc/74841>.

@article{Briançon1989,
abstract = {Nous commençons par indiquer comment la connaissance du degré d’un opérateur différentiel, unitaire en $s$ et annulant $f^s$, permet de donner un algorithme de calcul du polynôme de Bernstein d’un germe $f$ de fonction analytique à singularité isolée.Nous étudions alors le cas d’une singularité non dégénérée par rapport à son polygôme de Newton; nous donnons un algorithme pour calculer le polynôme de Bernstein de ces singularités et l’équation fonctionnelle associée. Notre méthode utilise une filtration proche de la filtration de Newton et un théorème de division adaptée. Les racines du polynôme de Bernstein sont alors données naturellement comme des poids par rapport a cette filtration.Nous donnons des exemples de calcul et déterminons le polynôme de Bernstein générique d’une singularité semi-quasi-homogène.},
author = {Briançon, Joël, Granger, Michel, Maisonobe, Philippe, Miniconi, M.},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Bernstein polynomial; analytic function with isolated singularity},
language = {fre},
number = {3},
pages = {553-610},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein : Cas non dégénéré},
url = {http://eudml.org/doc/74841},
volume = {39},
year = {1989},
}

TY - JOUR
AU - Briançon, Joël
AU - Granger, Michel
AU - Maisonobe, Philippe
AU - Miniconi, M.
TI - Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein : Cas non dégénéré
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1989
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 39
IS - 3
SP - 553
EP - 610
AB - Nous commençons par indiquer comment la connaissance du degré d’un opérateur différentiel, unitaire en $s$ et annulant $f^s$, permet de donner un algorithme de calcul du polynôme de Bernstein d’un germe $f$ de fonction analytique à singularité isolée.Nous étudions alors le cas d’une singularité non dégénérée par rapport à son polygôme de Newton; nous donnons un algorithme pour calculer le polynôme de Bernstein de ces singularités et l’équation fonctionnelle associée. Notre méthode utilise une filtration proche de la filtration de Newton et un théorème de division adaptée. Les racines du polynôme de Bernstein sont alors données naturellement comme des poids par rapport a cette filtration.Nous donnons des exemples de calcul et déterminons le polynôme de Bernstein générique d’une singularité semi-quasi-homogène.
LA - fre
KW - Bernstein polynomial; analytic function with isolated singularity
UR - http://eudml.org/doc/74841
ER -

References

top
  1. [1] I.N. BERNSTEIN, The analytic continuation of generalized functions with respect to a parameter, Fonct. Anal. and Applic., vol.6 (1972). Zbl0282.46038MR47 #9269
  2. [2] J.E. BJORK, Rings of Differential Operators, North-Holland Math. Library, 1979. Zbl0499.13009MR82g:32013
  3. [3] J. BRIANÇON, Description de Hilbnℂ&{x, y}, Inv. Math., 41 (1977). Zbl0353.14004MR56 #15637
  4. [4] J. BRIANÇON, M. GRANGER, Ph. MAISONOBE, Sur le polynôme de Bernstein des singularités semi-quasi homogènes, Prépub. n° 138 de l'Univ. de Nice, (1986). 
  5. [5] J. BRIANÇON, M. GRANGER, Ph. MAISONOBE, M. MINICONI, Polynôme de Bernstein d'une singularité non dégénérée par rapport à son polyèdre de Newton, Prépub. n° 155 de l'Univ. de Nice, (1987). 
  6. [6] J. BRIANÇON, H. SKODA, Sur la clôture intégrale d'un idéal de germes de fonctions holomorphes en un point de ℂn, C.R. Acad. Sci., Paris, 278 (1974). Zbl0307.32007MR49 #5394
  7. [7] P. CASSOU-NOGUÈS, Racines de polynômes de Bernstein, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 36-4 (1986), 1-30. Zbl0597.32004MR88c:32012
  8. [8] P. CASSOU-NOGUÈS, Etude du comportement du polynôme de Bernstein lors d'une déformation à ̌ constant de xa + yb avec (a, b) = 1, Comp. Math., 63 (1987). Zbl0624.32006MR89k:32042
  9. [9] P. CASSOU-NOGUÈS, Polynôme de Bernstein générique des singularités semi-quasi homogènes, Prépub. Bordeaux, (1986). 
  10. [10] A. GALLIGO, Algorithme de calcul de bases standard, Prépub. Univ. Nice, 9 (1983). 
  11. [11] M. KASHIWARA, B-function and holonomic system, Inv. Math., 38 (1976). Zbl0354.35082MR55 #3309
  12. [12] M. KATO, An estimate of the roots of b-functions by Newton polyhedra, Proc. Japan Acad, 57. Ser. A, (1981). Zbl0535.35002MR83i:32016
  13. [13] M. KATO, The b-function of ̌-constant deformation of x7 + y5, Bull. Coll. of Sc. Univ. of Ryukyu, 32 (1981). Zbl0496.32016MR83b:32007
  14. [14] M. KATO, The b-function of ̌-constant defromation of x9 + y4, Bull. Coll. of Sc. Univ. of Ryukyu, 32 (1982). Zbl0505.32011
  15. [15] A.G. KOUCHNIRENKO. Polyèdres de Newton et nombres de Milnor, Inv. Math., 32 (1976), 1-31. Zbl0328.32007MR54 #7454
  16. [16] M. LEJEUNE, B TEISSIER, Clôtures intégrales des idéaux et équisingularité, Séminaire Lejeune-Teissier, Prépub. Univ. de Grenoble, (1974). 
  17. [17] J. LIPMAN, B. TEISSIER, Pseudo rational local rings and a theorem of Briançon-Skoda about integral closures of ideals, Michig. Math. Journ., vol 28 (1981). Zbl0464.13005MR82f:14004
  18. [18] F. LOESER, Fonctions d'Igusa p-adiques et polynômes de Bernstein, Amer. Journ. of Math., 109 (1987), 1-22. Zbl0644.12007
  19. [19] B. MALGRANGE, Le polynôme de Bernstein d'une singularité isolée, in Fourier Integral Operators and partial Differential Equations, Coll. Intern. de Nice, (1974), Lectures Notes in Math., vol. 459, (1975). Zbl0308.32007
  20. [20] B. MALGRANGE, Polynôme de Bernstein-Sato et cohomologie évanescente, Analyse et Topologie sur les Espaces Singuliers, Coll. Luminy (1981), Astérisque 101 et 102, Soc. Math. France. Zbl0528.32007
  21. [21] F. PHAM, Singularités des systèmes différentiels de Gauβ-Manin, Prog. in Math. 2, Birkhäuser, 1979. Zbl0524.32015MR81h:32015
  22. [22] K. SAITO, Quasi-homogene isolierte Singularitäten von Hyperflächen, Inv. Math., 14 (1971). Zbl0224.32011MR45 #3767
  23. [23] K. SAITO, On the structure of Brieskorn lattices, Prépub. RIMS, Kyoto Univ., 608 (1988). 
  24. [24] K. SAITO, Exponents and Newton polyhedra of isolated hypersurface singularities, Prépub., Inst. Fourier, Grenoble, (1983). Zbl0628.32038
  25. [25] G. SCHEJA, U. STORCH, Uber Spurfunktionen bei vollständiger Durchschnitten, Journal für reine und angewandte Mathematik, 278/279 (1975). Zbl0316.13003MR52 #13867
  26. [26] A.N. VARCHENKO, Asymptotic Hodge structure in the vanishing cohomology, Math USSR Izvestija, vol. 18, n° 3, (1982). Zbl0489.14003
  27. [27] A.N. VARCHENKO, The Gauβ-Manin connection of isolated singular points and Bernstein polynomial, Bull. Soc. Math. Fr., 2° série, 104 (1980). Zbl0434.32008MR83e:32008
  28. [28] A.N. VARCHENKO, A.G. HOVANSKY, Asymptotic behavior of integrals on vanishing cycles and Newton polyhedron, Dan. SSSR, 283-3 (1985). 
  29. [29] T. YANO, On the theory of b-functions, Publ. RIMS, Kyoto Univ, 14 (1978). Zbl0389.32005MR80h:32026

Citations in EuDML Documents

top
  1. Françoise Geandier, Déformations à nombre de Milnor constant : quelques résultats sur les polynômes de Bernstein
  2. Joël Briançon, F. Geandier, Philippe Maisonobe, Déformation d'une singularité isolée d'hypersurface et polynômes de Bernstein
  3. Joël Briançon, Philippe Maisonobe, Tristan Torrelli, Matrice magique associée à un germe de courbe plane et division par l’idéal jacobien
  4. Antoine Douai, Équations aux différences finies, intégrales de fonctions multiformes et polyèdres de Newton
  5. Hélène Maynadier, Polynômes de Bernstein-Sato associés à une intersection complète quasi-homogène à singularité isolée
  6. Antoine Douai, Très bonnes bases du réseau de Brieskorn d'un polynôme modéré
  7. Andréa G. Guimarães, Abramo Hefez, Bernstein-Sato Polynomials and Spectral Numbers
  8. Tristan Torrelli, Polynômes de Bernstein associés à une fonction sur une intersection complète à singularité isolée
  9. Antoine Douai, Claude Sabbah, Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (I)

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.