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On étudie certaines algèbres de fonctions analytiques réelles définies sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$. La propriété principale de ces algèbres est que tout semi-analytique de $\Omega$ défini globalement à l’aide d’un nombre fini de fonctions de $𝒪\left(\Omega \right)$, admet un nombre fini de composantes connexes. En reprenant les idées de Khovanskii (lemme de Rolle généralisé), on démontre que ces algèbres restent topologiquement noethériennes quand on leur adjoint les solutions de certaines équations différentielles du ler ordre. Par...

On étudie les propriétés métriques des ensembles analytique réels $f=0$, avec $f\in 𝒪\left(\Omega \right)$, $𝒪\left(\Omega \right)$ algèbre analytique topologiquement noethérienne. Ainsi, on construit de larges classes d’algèbres $𝒪\left(\Omega \right)$ topologiquement noethériennes et vérifiant des conditions de Łojasiewicz globales d’un certain type. Comme application, on obtient des théorèmes de division de fonction ${𝒞}^{\infty }$ par des fonctions analytiques.

Soient ${𝔑}_n$ (resp. ${ℰ}_n$) l’anneau des germes de fonctions de Nash (resp. l’anneau des germes de fonctions $C^{\infty }$) à l’origine de ${\mathbf{R}}^n$: ${ℬ}_n$ (resp. ${ℬ}_n^{\text{'}}$) le module sur ${𝔑}_n$ des germes de fonctions de Bernstein $C^{\infty }$ (resp. le module sur ${𝔑}_n$ des germes de distributions de Bernstein) à l’origine de ${\mathbf{R}}^n$. Les deux résultats principaux de l’article sont les suivants : ${ℬ}_n^{\text{'}}$ est un module injectif sur ${𝔑}_n$ et ${ℰ}_n/{ℬ}_n$ est un module plat sur ${𝔑}_n$.

On démontre que toute solution formelle $\bar{y}\left(x\right)$ d’un système d’équations analytiques réelles (resp. polynomiales réelles) $f(x,y)=0$, se relève en une solution ${\mathbf{C}}^{\infty }$ homotope à une solution analytique (resp. à une solution de Nash) aussi proche que l’on veut de $\bar{y}\left(x\right)$ pour la topologie de Krull. On utilise ce théorème pour démontrer l’algébricité (ou l’analyticité) de certains idéaux de $\mathbf{R}\left\{x\right\}$ (ou $\mathbf{R}\left[\right[x\left]\right]$), et aussi pour construire des déformations analytiques de germes d’ensembles analytiques en germes d’ensembles de Nash.

Les idéaux de fonctions $C^{\infty }$ présentent des propriétés moins simples que les idéaux de fonctions algébriques ou analytiques. Cependant, les idéaux de type fini possèdent “en général” de “bonnes propriétés”. L’objet de cet article est de donner un sens précis à l’expression “en général” puis d’étudier diverses “bonnes propriétés”, notamment les propriétés de stratification et de stabilité. Les outils utilisés sont, entre autres, un théorème de quasi-transversalité, analogue au théorème classique de...

Soit $f:X\to Y$ un germe d’applications algébriques entre deux germes de variétés algébriques complexes. Soient $O_{X^{\text{'}}}{O}_Y$ les anneaux de germe de fonctions holomorphes sur $X$ et $Y$ respectivement : ${\bar{f}}^{*}:O_Y\to O_X$ l’homomorphisme déduit de $f$. Nous démontrons, en utilisant quelques propriétés élémentaires des courbes analytiques sur un germe d’espace analytique et sous certaines hypothèses sur $X$ et $Y$, que ${\bar{f}}^{*}$ induit une application ouverte de $O_Y$ sur ${\bar{f}}^{*}(O_Y)$ et que ${\bar{f}}^{*}(O_Y)$ est fermé dans $O_X$ (pour les topologies de Krull).

Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction complexe de classe $C^{\infty }$, définie sur une variété et admettant localement une racine $p$-ième de classe $C^{\infty }$, soit globalement puissance $p$-ième d’une fonction $C^{\infty }$.

Soit $f$ un morphisme propre et de Nash d’un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ dans un ouvert ${\Omega }^{\text{'}}$ de ${\mathbf{R}}^p$. Nous démontrons que l’image par $f^{*}$ de l’algèbre $C^{\infty }({\Omega }^{\text{'}})$ des fonctions réelles $C^{\infty }$ dans ${\Omega }^{\text{'}}$ est fermée dans $C\infty \left(\Omega \right)$ munie de sa topologie habituelle d’espace de Fréchet. Ce résultat généralise, dans le cas algébrique, un résultat de G. Glaeser sur les fonctions composées différentiables.

B. Malgrange a montré que l’idéal engendré par un ensemble fini de fonctions analytiques dans l’algèbre des fonctions de classe $C^{\infty }$ sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$ est fermé. Par des techniques assez différentes de celles de B. Malgrange, nous étudions des propriétés de ce type, reliant l’analytique et le différentiable. Plus précisément, si ${\mathbf{E}}_n$ (resp. ${\mathbf{A}}_n$) désigne des germes de fonctions de classe $C^{\infty }$ (resp. analytiques) au voisinage de l’origine de ${\mathbf{R}}^n$, et $\theta$ une fonction de classe $C^{\infty }$ de ${\mathbf{R}}^n$ dans ${\mathbf{R}}^p$, nous étudions,...