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Calcul fonctionnel précisé pour des opérateurs elliptiques complexes en dimension un (et applications à certaines équations elliptiques complexes en dimension deux)

Pascal AuscherPhilippe Tchamitchian — 1995

Annales de l'institut Fourier

Dans cet article, on considère les opérateurs différentiels T = b ( x ) D ( a ( x ) D ) , où a ( x ) et b ( x ) sont deux fonctions mesurables, bornées et accrétives, et D = - i d d x . Les résultats principaux portent sur les propriétés fonctionnelles de T , de sa racine carrée, avec applications à l’équation elliptique t 2 u - T u = 0 sur × [ 0 , + [ . On démontre que T 1 / 2 D - 1 est un opérateur de Calderón-Zygmund qui dépend analytiquement du couple ( a , b ) . Les estimations ponctuelles optimales sur le noyau du semi-groupe exp ( - t L 1 / 2 ) et le calcul fonctionnel permettent de développer une théorie...

Conjetura de Kato sobre los abiertos de R.

Pascal AuscherPhilippe Tchamitchian — 1992

Revista Matemática Iberoamericana

We prove Kato's conjecture for second order elliptic differential operators on an open set in dimension 1 with arbitrary boundary conditions. The general case reduces to studying the operator T = - d/dx a(x) d/dx on an interval, when a(x) is a bounded and accretive function. We show for the latter situation that the domain of T is spanned by an unconditional basis of wavelets with cancellation properties that compensate the action of the non-regular function a(x).

Bases d'ondelettes sur les courbes corde-arc, noyau de Cauchy et spaces de Hardy associés.

Pascal AuscherPhilippe Tchamitchian — 1989

Revista Matemática Iberoamericana

Se construyen dos bases incondicionales de L(R) adaptadas al estudio de la integral de Cauchy sobre una curva cuerda-arco, y se extiende la construcción a L(R). Esto permite obtener una prueba simple del "Teorema T(b)" de G. David, J.L. Journé u S. Semmes. Se define un espacio de Hardy ponderado H (R) caracterizado por las bases anteriores. Finalmente se aplican estos métodos al estudio del potencial de doble capa sobre una superficie lipschitziana.

Absence de principe du maximum pour certaines équations paraboliques complexes

Pascal AuscherThierry CoulhonPhilippe Tchamitchian — 1996

Colloquium Mathematicae

Le but de cette note est de montrer que le principe du maximum, même dans une version affaiblie, n’est pas vérifıé pour la classe des opérateurs paraboliques du type d / d t + L , où L est un opérateur différentiel elliptique d’ordre 2 sous forme divergence à coefficients complexes mesurables et bornés en dimension supérieure ou égale à 5. Le principe de démonstration repose sur un résultat abstrait de la théorie des semi-groupes permettant d’utiliser le contre-exemple présenté dans [MNP] à la régularité des...

Maximal inequalities and Riesz transform estimates on L p spaces for Schrödinger operators with nonnegative potentials

Pascal AuscherBesma Ben Ali — 2007

Annales de l’institut Fourier

We show various L p estimates for Schrödinger operators - Δ + V on n and their square roots. We assume reverse Hölder estimates on the potential, and improve some results of Shen. Our main tools are improved Fefferman-Phong inequalities and reverse Hölder estimates for weak solutions of - Δ + V and their gradients.

On positive Rockland operators

Pascal AuscherA. ter ElstDerek Robinson — 1994

Colloquium Mathematicae

Let G be a homogeneous Lie group with a left Haar measure dg and L the action of G as left translations on L p ( G ; d g ) . Further, let H = dL(C) denote a homogeneous operator associated with L. If H is positive and hypoelliptic on L 2 we prove that it is closed on each of the L p -spaces, p ∈ 〈 1,∞〉, and that it generates a semigroup S with a smooth kernel K which, with its derivatives, satisfies Gaussian bounds. The semigroup is holomorphic in the open right half-plane on all the L p -spaces, p ∈ [1,∞]. Further extensions...

Carleson measures, trees, extrapolation, and T(b) theorems.

Pascal AuscherSteve HofmannCamil MuscaluTerence TaoChristoph Thiele — 2002

Publicacions Matemàtiques

The theory of Carleson measures, stopping time arguments, and atomic decompositions has been well-established in harmonic analysis. More recent is the theory of phase space analysis from the point of view of wave packets on tiles, tree selection algorithms, and tree size estimates. The purpose of this paper is to demonstrate that the two theories are in fact closely related, by taking existing results and reproving them in a unified setting. In particular we give a dyadic version of extrapolation...

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