Let $J_k\left(n\right):=n^k{\prod }_{p\mid n}(1-p^{-k})$ (the $k$-th Jordan totient function, and for $k=1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $$E_k\left(x\right):=\sum _{n\le x}{J}_k\left(n\right)-\frac{x^{k+1}}{(k+1)\zeta (k+1)}.$$ When $k\ge 2$, both $i_k:=E_k\left(x\right)x^{-k}$ and $s_k:=lim\; sup{E}_k\left(x\right)x^{-k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $$Ik:=\underset{n\in \mathbb{N},n\to \infty }{lim\; inf}$$ d 1 (d)dk ( 12 - { nd} ), since from [AS] $i_k=I_k-{\left(\zeta (k+1)\right)}^{-}1$ and from the present paper $s_k=-i_k$. We show that $I_k$ belongs to an interval of the form $$\left(\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}-\frac{1}{(k-1)N^{k-1}},\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}\right),$$ where $N=N\left(k\right)\to \infty$ as $k\to \infty$. From a more practical point of view we describe...

On démontre une formule d’interpolation pour une fonction $F(z,w)$ de deux variables complexes qui tient compte des valeurs de cette fonction ainsi que de ses dérivées partielles par rapport à $w$ en des points d’un sous-groupe de ${𝐂}^2$ de rang $2$. On explique préalablement comment, dans les grandes lignes, une telle formule permet de ramener la conjecture de Schanuel à un énoncé dont la forme est celle d’un critère d’indépendance algébrique.

Nous montrons que l’ensemble des racines modulo une puissance d’un nombre premier d’un polynôme à coefficients entiers de degré $d$ est une union d’au plus $d$ progressions arithmétiques de modules assez grands. Nous en déduisons une majoration du nombre de ses racines dans un intervalle réel court.

We study the problem of approximation by the sets S + K(H), $S_e$, V + K(H) and $V_e$ where H is a separable complex Hilbert space, K(H) is the ideal of compact operators, $S=L\in B\left(H\right):L*L=I$ is the set of isometries, V = S ∪ S* is the set of maximal partial isometries, $S_e=L\in B\left(H\right):\pi (L*)\pi \left(L\right)=\pi \left(I\right)$ and $V_e=S_e\cup S_e*$ where π : B(H) → B(H)/K(H) denotes the canonical projection. We also prove that all the relevant distances are attained. This implies that all these classes are closed and we remark that $V_e=V+K\left(H\right)$. We also show that S + K(H) is both closed and...

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement en fraction continue de $\alpha$. La suite $\left(xs\right(n)+y{\alpha }_{\alpha }(n){)}_{n\in \mathbf{N}}$ est équirépartie modulo 1 si et seulement si $x$ ou $y$ est irrationnel.

Étant donné un semi-flot mesurable $({\theta }_x{)}_{x\in {ℝ}_{+}^d}$ préservant une mesure de probabilité $\mu$ sur un espace $\Omega$, nous considérons les moyennes ergodiques $t^{-d}{\int }_{{ℝ}_{+}^d}\varphi (x/t)f\circ {\theta }_{x}dx$ où $\varphi$ est un “poids” à support compact sur ${ℝ}_{+}^d$, c’est-à-dire que $\varphi$ vérifie $\varphi \ge 0$ et $\int \varphi \left(x\right)dx=1$. Nous démontrons la convergence p.p. de ces moyennes quand $t\to +\infty$ si $f$ appartient à l’espace de Lorentz défini par le poids ${\varphi }^{*}$ qui est le réarrangé décroissant de $\varphi$. En particulier, pour $d=1$, on obtient la convergence p.p. des moyennes de Césarò d’ordre $\alpha$ $\alpha t^{-\alpha }{\int }_0^t(t-x{)}^{\alpha -1}f\circ {\theta }_{x}dx,$ ...

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset \mathbb{Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles...

Soit $G$ un groupe commutatif localement compact. On se propose de déterminer les fonctions $f$, définies sur le disque-unité ouvert du plan complexe $[z:|z|\<1]$, à valeurs complexes, telles que la fonction composée $f\left(\phi \right)$ soit définie-positive chaque fois que $\phi$ est une fonction définie-positive sur $G$ avec $\left|\phi \right|\<1$ partout. On prouve que si $G$ contient des éléments dont les ordres sont aussi grands qu’on veut, alors il faut et il suffit que $f$ soit représentée par une série convergente pour $\left|z\right|\<1$ ...