Stefan Mazurkiewicz (1920)
Fundamenta Mathematicae
Similarity:
Le but de cette note est de démontrer la solution de problème suivant: L'espace R^q où q>1, contient-il des ensembles ponctiformes qui ne sont homéomorphes à aucun ensemble linéaire?
Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est de démontrer le theoreme suivant: Pour qu'en continu C (situé dans un espace euclidien à m dimensions) soit une courbe jordanienne, il faut et il suffit que, pour tout ϵ > 0, il soit une somme d'un nombre fini de continus de diamètre < ϵ.
Casimir Kuratowski (1924)
Fundamenta Mathematicae
Similarity:
Le but de cette note est de démontrer que toute coupure qui coupe le plan en un nombre fini de régions contient une coupure irréductible.
Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
Similarity:
Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Tout ensemble de points P (situé dans l'espace euclidien à m dimensions) se décompose en une somme de deux ensembles P=C+D dont l'ensemble C (s'il n'est pas vide) est clairsemé et effectivement énumérable, et l'ensemble D (s'il n'est pas vide) est dense en soi.
Casimir Kuratowski (1924)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Tout continu borné de Jordan contient deux points au moins qui ne le coupent pas (séparément). Théorème: Chaque continu non-borné de Jordan contient un continu borné qui le coupe. Théorème: Si aucun sous-continu d'un continu borné C ne coupe C, C est une courbe simple fermée.
Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Cette note est dévouée à l'étude de la decomposition d'un ensamble dense en soi en parties homogènes.
Stefan Mazurkiewicz, Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est de déterminer la puissance de deux classes de types topologiques dénombrables: de celle des types dénombrables fermés et de celle des types clairsemés. Mazurkiewicz et Sierpiński démontrent que la puissance de la première de ces classes est א_1 et que la seconde classe est de puissance du continu.
Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
Similarity:
Le but de cette note est de démontrer que pour qu'une fonction de deux variables x, y soit de classe α = 0 dans le plan (x,y), il suffit qu'elle soit de classe 0 de Baire sur toute droite x=const. et sur toute courbe (continue) y=f(x). En plus si cette propriété était exacte pour α=2, on aurait l'inégalité 2^{א_0} > א_1.
Hugo Steinhaus (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Tout ensemble linéaire de mesure positive contient deux points distincts a et b de distance rationnelle et de donner quelques généralisations faciles du théorème.
Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est de démontrer sans l'aide des nombres transfinis et sans utiliser la théorie des ensembles mesurables B (ensembles de Borel) le suivant théorème de Baire: Toute fonction représentable analytiquement est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, quand on néglige les ensembles de I -e catégorie par rapport à cet ensemble.
Casimir Kuratowski (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est d'obtenir une définition des lignes de Jordan purement topologique, basée sur certaines propriétés caractéristiques de ces ensembles.
Wacław Sierpiński (1924)
Fundamenta Mathematicae
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On dit qu'une fonction f(x) satisfait à la condition de Baire relativement à un ensemble parfait P, si elle est continue sur P quand on néglige un ensemble de première catégorie par rapport à P. Dans ce cas il existe toujours une infinité des ensembles E de première catégorie par rapport à P, tels que f(x) est continue sur P-E. Le but de cette note est de démontrer que parmi ces ensembles il existe toujours le plus petit.
Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Toute fonction mesurable f(x) qui satisfait pour tous les nombres réels x et y à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est de la forme Ax où A est une constante.
Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Définition: Nous disons qu'une suite transfinie (du type Ω) de fonctions de variable réelle f_1(x),f_2(x),...,f_ω(x),f_{ω + 1}(x),...,f_ξ(x),... (ξ<Ω) (1) a pour limite la fonction f(x), si, pour tout x réel, la suite des nombres (1) a pour limite le nombre f(x). Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Si la suite (1) est une suite convergente de fonction continues, tous ses termes sont égaux à partir d'une certaine place.
Wacław Sierpiński (1920)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Il existe un ensemble plan qui est de mesure nulle sur toute droite, mais qui n'est pas mesurable superficiellement.
Stefan Mazurkiewicz, Wacław Sierpiński (1924)
Fundamenta Mathematicae
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Le but de cette note est de montrer la solution au problème suivante de Banach: Problème: P étant un ensemble plan fermé, ou, plus généralement, mesurable (B), quel est l'ensemble N(P) de tous les nombres réels b, tels que la droite y=b rencontre l'ensemble P en une infinité non dénombrable de points ?