Sur l'équation fonctionnelle f(x) + f(x+y)

Stanisław Kaczmarz

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Sur les fonctions convexes mesurables

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Toute fonction mesurable et convexe dans l'intervalle <a,b> est continue à l'intérieur de cet intervalle.

Sur une propriété des fonctions de M. Hamel

Wacław Sierpiński (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant suggeré par Monsieur Nikodym: Théorème: Une fonction discontinue d'une variable réelle f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y), ne peut être majorée par aucune fonction mesurable.

Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Toute fonction mesurable f(x) qui satisfait pour tous les nombres réels x et y à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est de la forme Ax où A est une constante.

Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

Stefan Banach (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer que toute fonction mesurable f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est continue (donc, d'après Cauchy, de la forme Ax).

Sur la représentation des fonctions mesurables B par les séries transfinies de polynomes

M. Lavrentieff (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer Théorème: Pour qu'une fonction soit de classe ≤ α, il faut et il suffit qu'elle soit représentable par une série transfinie de polynomes du type ω^{α}.

Sur un problème concernant les fonctions continues

Stefan Mazurkiewicz, Wacław Sierpiński (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de montrer la solution au problème suivante de Banach: Problème: P étant un ensemble plan fermé, ou, plus généralement, mesurable (B), quel est l'ensemble N(P) de tous les nombres réels b, tels que la droite y=b rencontre l'ensemble P en une infinité non dénombrable de points ?

Sur une condition pour qu'un continu soit une courbe jordanienne

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le theoreme suivant: Pour qu'en continu C (situé dans un espace euclidien à m dimensions) soit une courbe jordanienne, il faut et il suffit que, pour tout ϵ > 0, il soit une somme d'un nombre fini de continus de diamètre < ϵ.

Sur les suites transfinies convergentes de fonctions de Baire

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Définition: Nous disons qu'une suite transfinie (du type Ω) de fonctions de variable réelle f_1(x),f_2(x),...,f_ω(x),f_{ω + 1}(x),...,f_ξ(x),... (ξ<Ω) (1) a pour limite la fonction f(x), si, pour tout x réel, la suite des nombres (1) a pour limite le nombre f(x). Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Si la suite (1) est une suite convergente de fonction continues, tous ses termes sont égaux à partir d'une certaine place.

Sur un ensemble $G_{δ}$ ponctiforme qui n’est homéomorphe à aucun ensemble linéaire

Stefan Mazurkiewicz (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer la solution de problème suivant: L'espace R^q où q>1, contient-il des ensembles ponctiformes qui ne sont homéomorphes à aucun ensemble linéaire?

Démonstration d'un théorème de M. Baire sur les fonctions représentables analytiquement

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer sans l'aide des nombres transfinis et sans utiliser la théorie des ensembles mesurables B (ensembles de Borel) le suivant théorème de Baire: Toute fonction représentable analytiquement est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, quand on néglige les ensembles de I -e catégorie par rapport à cet ensemble.

Sur les rapports entre l’existence des intégrales $\int_{0}^{1} f (x, y) d x$ , $\int_{0}^{1} f (x, y) d y$ et $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y$

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer que la réponse au problème (posée par Stanisław Ruziewicz) suivant: L'existence (pour une function bornée f(x,y), définie dans le carré 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1) des intégrales au sens de Lebesgue: ∫_0^1f(x,y)dx pour 0 ≤ y ≤ 1 ∫_0^1f(x,y)dy pour 0 ≤ x ≤ 1 entraîne-t-elle toujours l'existence de l'intégrale (au sens de Lebesgue) ∫_0^1 dx∫_0^1f(x,y)dy ? est négative, si l'on admet l'hypothèse du continu.

Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive

Hugo Steinhaus (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Tout ensemble linéaire de mesure positive contient deux points distincts a et b de distance rationnelle et de donner quelques généralisations faciles du théorème.

Sur la question de la mesurabilité de la base de M. Hamel

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer que la base de Hamel peut être mesurable au sens de Lebesgue.

Sur un problème de M. Lebesgue

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer que pour qu'une fonction de deux variables x, y soit de classe α = 0 dans le plan (x,y), il suffit qu'elle soit de classe 0 de Baire sur toute droite x=const. et sur toute courbe (continue) y=f(x). En plus si cette propriété était exacte pour α=2, on aurait l'inégalité 2^{א_0} > א_1.

Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Il existe un ensemble plan qui est de mesure nulle sur toute droite, mais qui n'est pas mesurable superficiellement.