Sur la méthode de Van der Corput pour les sommes d'exponentielles

Marouan Redouaby

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Fonction $ζ$ de Carlitz et automates

Valérie Berthé (1993)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Carlitz a défini sur $𝔽_{q}$ une fonction $ζ$ et une série formelle $I I$ , analogues respectivement à la fonction $ζ$ de Riemann et au réel $π$ . Yu a montré, en utilisant les modules de Drinfeld, que $ζ (s) / I I^{3}$ est transcendant pour tout $s$ non divisible par $q - 1$ . Nous donnons ici une preuve «automatique» de la transcendance de $ζ (s) / I I^{3}$ pour $1 \leq s \leq q - 2$ , en utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy.

Sur les moyennes arithmétiques des suites de fonctions orthogonales

I. S. Gal (1949)

Annales de l'institut Fourier

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Soit ${φ_{ν} (x)}$ une suite orthonormale dans l’intervalle $(- \infty < a \leq x \leq b < \infty)$ . L’auteur démontre, que $\sum_{ν = 1}^{N} (1 - \frac{ν - 1}{N}) φ_{ν} (x) = 0 (N^{\frac{1}{2}} (log N)^{\frac{1}{2} + ϵ})$ pour tout $ϵ > 0$ et presque partout dans $a \leq x \leq b$ . La démonstration est basée sur un théorème de MM. Gál et Koksma et on peut généraliser aussi pour le cas $- \infty \leq x \leq \infty$ (théorème auxiliaire). En utilisant ce théorème auxiliaire on obtient tout de suite l’estimation connue pour les fonctions de Lebesgue (théorème 2) [voir Kaczmarcz et Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa, 1935, 577].

Non prolongement unique des solutions d'opérateurs «somme de carrés»

Hajer Bahouri (1986)

Annales de l'institut Fourier

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Dans ce travail, nous avons montré que si $P = \sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i}^{2}$ , où les $x_{i}$ sont des champs de vecteurs $C^{\infty}$ linéairement independants dans un ouvert $Ω$ de $R^{n}$ tels que l’algèbre de Lie qu’ils engendrent soit de rang maximum en tout point et la forme volume qu’on leur associe soit de classe 4 en un point $x_{0}$ de $Ω$ , alors il existe un voisinage ouvert $V$ de $x_{0}$ et une fonction $a \in C^{\infty} (V)$ tels que $P + a$ possède pas la propriété de prolongement unique.

Indépendance linéaire des valeurs des polylogarithmes

Tanguy Rivoal (2003)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Nous montrons que pour tout rationnel $α$ de $[- 1, 1]$ , l’ensemble des valeurs des polylogarithmes $\{{Li}_{s} (α), s \in ℕ, s \geq 1\}$ contient une infinité de nombres $ℚ$ -linéairement indépendants.

Quelques paires d'exposants par la méthode de Vinogradov

Olivier Robert (2002)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Pour majorer les sommes d’exponentielles de la forme $\sum_{m ∽ M} e (f (m))$ uniquement en fonction de la dérivée $k$ -ième de $f$ , on dispose soit de la méthode de van der Corput pour les petites valeurs de $k$ , soit de celle de Vinogradov pour les grandes valeurs de $k$ . La jonction entre ces deux méthodes, tenant compte des progrès récents de l’une et de l’autre, est obtenue ici en étudiant les cas $k = 9, 10, 11$ par une méthode qui relève essentiellement de celle de Vinogradov. Des calculs difficiles, effectués sur ordinateur,...

Sur un théorème général de probabilité

Alfred Rényi (1949)

Annales de l'institut Fourier

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L’auteur généralise un théorème qu’il a déjà donné (J. de Math. 28 (949)). Envisageant un champ de probabilités au sens de Kolmogoroff, il élargit puis étudie la notion de discrépance, en introduisant la discrépance $D_{y} (x)$ d’une variable aléatoire $x$ par rapport à une autre variable aléatoire $y$ ; elle se réduit au coefficient de corrélation si $x$ et $y$ sont des variables caractéristiques. Il introduit aussi la notion de suite de variables aléatoires “presque indépendantes deux à deux”, avec...

Étude de $L (s, χ) / π^{s}$ pour des fonctions $L$ relatives à $𝔽_{q} ((T^{- 1}))$ et associées à des caractères de degré $1$

Gilles Damamme (1999)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Carlitz a défini pour les corps de fonctions l’analogue du réel $π$ et Goss l’analogue des fonctions $L$ de Dirichlet. Nous prouvons dans un cas particulier qu’il existe des valeurs entières $s$ et des caractères $χ$ pour lesquels $L (s, χ) / π^{8}$ peut être rationnel, algébrique ou bien transcendant.

Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables

Patrick Sargos (1984)

Annales de l'institut Fourier

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Soient $P (\underline{x}) = P (x_{1}, ..., x_{n})$ et $Q (\underline{x}) = Q (x_{1}, ..., x_{n})$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant : $lim_{\binom{| \underline{x} | \to + \infty}{x_{1}, ..., x_{n} \geq 1}} \frac{P (\underline{x})}{Q (\underline{x})} = + \infty .$ Soient $\underline{η} = (η_{1}, ..., η_{n}) \in N^{n}$ et $R = P / Q$ . On étudie la série de Dirichlet $Z (R, \underline{η}; s) = \sum_{η_{1}, ..., η_{n} = 1}^{\infty} {\underline{η}}^{\underline{η}} R (\underline{η})^{- s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s \mapsto Z (R, \underline{η}; s)$ qui ne dépend que de $\underline{η}$ et de certains monômes de $P$ et $Q$ : les monômes extrémaux.

À propos de la série $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{q^{n} - 1}$

Daniel Duverney (1996)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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