Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme $\mathbb{Z}$-bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non $\mathbb{Q}$-isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$, où $\alpha$ est un entier algébrique. Plus précisemment, on montre que pour tout $S\in M_{2n}\left(\mathbb{Z}\right)$ symétrique, avec det$S\ne 0$ (et det$S\neg \equiv -1$ (mod ${\mathbb{Q}}^{*2}$) si $n=1$), il existe un entier algébrique $\alpha$, une involution $\mathbb{Q}$-linéaire $\sigma$ de $\mathbb{Q}\left(\alpha \right),\lambda \in \mathbb{Q}\left(\alpha \right)\sigma$-symétrique et une $\mathbb{Z}$-base $v_1,\cdots ,v_{2n}$ d’un idéal de $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$ tels que $S=\left(T{r}_{\mathbb{Q}\left(\alpha \right)/\mathbb{Q}}\left(\lambda v_i{v}_j^{\sigma }\right)\right)$.

Soit $f$ un produit de polynômes cyclotomiques. Existe-t-il une forme bilinéaire symétrique entière, unimodulaire et définie positive ayant une isométrie de polynôme caractéristique $f$? Ce travail donne une réponse partielle à cette question.