In this note, we show that the counting function of the number of composite positive integers $n\le x$ such that $\beta \left(n\right)={\sum }_{p\mid n}p$ is a prime is of order of magnitude at least $x/{(logx)}^3$ and at most $x/logx$.

0. Introduction. The content of this paper is part of the author's Ph.D. thesis. The two new theorems in this paper provide upper bounds on the concentration function of additive functions evaluated on shifted γ-twin prime, where γ is any positive even integers. Both results are generalizations of theorems due to I. Z. Ruzsa, N. M. Timofeev, and P. D. T. A. Elliott.

In a stunning new advance towards the Prime k-Tuple Conjecture, Maynard and Tao have shown that if k is sufficiently large in terms of m, then for an admissible k-tuple $\left(x\right)={gx+h_j}_{j=1}^k$ of linear forms in ℤ[x], the set $\left(n\right)={gn+h_j}_{j=1}^k$ contains at least m primes for infinitely many n ∈ ℕ. In this note, we deduce that $\left(n\right)={gn+h_j}_{j=1}^k$ contains at least m consecutive primes for infinitely many n ∈ ℕ. We answer an old question of Erdős and Turán by producing strings of m + 1 consecutive primes whose successive gaps ${\delta }_1,...,{\delta }_m$ form an increasing (resp....

On montre à l’aide de méthodes de crible, de méthodes issues de la théorie des formes automorphes et de géométrie algébrique ainsi qu’à l’aide de la loi de Sato-Tate verticale que le signe des sommes de Kloosterman $\mathrm{Kl}(1,1;n)$ change une infinité de fois pour $n$ parcourant les entiers sans facteur carré ayant au plus $18$ facteurs premiers. Ceci améliore un résultat précédent de Fouvry et Michel qui avaient obtenu $23$ à la place de $18$.

Considérons le cardinal $h_3^{*}\left(\Delta \right)$ de l’ensemble des racines cubiques de l’unité dans le groupe des classes de $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\Delta }\right)$, où $\Delta$ est un discriminant fondamental. Un résultat de Davenport et Heilbronn calcule la valeur moyenne de ces nombres quand $\Delta$ varie. On obtient ici géométriquement une borne explicite pour le reste, avec la possibilité supplémentaire de restreindre les $\Delta$ à des progressions arithmétiques. Des techniques de crible permettent alors d’évaluer la 3-partie des $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\pm P_k}\right)$, où $P_k$ est pseudo-premier d’ordre $k$. On...