Soit $K$ un corps $p$-adique, $G$ son groupe de Galois absolu et $v$ la valuation sur ${\mathbf{C}}_p$. Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un $A\in \mathbf{R}$, $x\in {\mathbf{C}}_p$ vérifie $v(\sigma x-x)\ge A$ pour tout $\sigma \in G$, alors il existe $y\in K$ tel que $v(x-y)\ge A-c$, avec $c=p/{(p-1)}^2$. Ax se pose la question de l’optimalité de la constante $c$, que nous étudions ici. En utilisant l’extension de $K$ engendrée par les racines $p^m$-es d’une uniformisante fixée de $K$, nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les $x\in {\mathbf{C}}_p$ tels que $v(\sigma x-x)\ge A$ pour...