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Fonctions multisommables

Bernard Malgrange, Jean-Pierre Ramis (1992)

Annales de l'institut Fourier

La notion de multisommabilité intervient dans la théorie des équations différentielles lorsque des exponentielles d’ordres différents se mélangent. Elle a été introduite par J. Écalle et étudié récemment par plusieurs auteurs. On en donne ici une définition simple, qui fait uniquement intervenir des propriétés de décroissance exponentielle.

Generalized trigonometric functions in complex domain

Petr Girg, Lukáš Kotrla (2015)

Mathematica Bohemica

We study extension of p -trigonometric functions sin p and cos p to complex domain. For p = 4 , 6 , 8 , ⋯ , the function sin p satisfies the initial value problem which is equivalent to (*) - ( u ' ) p - 2 u ' ' - u p - 1 = 0 , u ( 0 ) = 0 , u ' ( 0 ) = 1 in ℝ . In our recent paper, Girg, Kotrla (2014), we showed that sin p ( x ) is a real analytic function for p = 4 , 6 , 8 , ⋯ on ( - π p / 2 , π p / 2 ) , where π p / 2 = ∫ 0 1 ( 1 - s p ) - 1 / p . This allows us to extend sin p to complex domain by its Maclaurin series convergent on the disc { z ∈ ℂ : | z | < π p / 2 } . The question is whether this extensions sin p ( z ) satisfies (*) in the sense of differential equations in complex domain. This interesting...

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