We study the stability of homomorphisms between topological (abelian) groups. Inspired by the "singular" case in the stability of Cauchy's equation and the technique of quasi-linear maps we introduce quasi-homomorphisms between topological groups, that is, maps ω: 𝒢 → ℋ such that ω(0) = 0 and ω(x+y) - ω(x) - ω(y) → 0 (in ℋ) as x,y → 0 in 𝒢. The basic question here is whether ω is approximable by a true homomorphism a in the sense that ω(x)-a(x) → 0 in ℋ as x →...

Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K\left[\right[X,T\left]\right]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ conduit naturellement à étudier l’application $U\left(T\right)\to \left(U\right(T){)}^X$, $U\left(T\right)$ étant une unité de l’algèbre $K\left[\right[T\left]\right]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$, $\left(H_n\right(X\left)\right)$ étant une suite de $K\left[X\right]$ vérifiant les “identités multinomiales” :$$\left(\mu \right)H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}(X_k\left)\right(n,k\ge 0).$$Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$\left(K\right)\>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices...

On sait (Cobham) qu’une suite $2$- et $3$-automatique est une suite rationnelle. Une question de Loxton et van der Poorten étend ce résultat au cas $2$- et $3$-régulier. On montre dans cet article que, si une suite vérifie une récurrence $2$- et $3$-mahlérienne d’ordre un, elle est rationnelle.

It has been proved recently that the two-direction refinement equation of the form $f\left(x\right)={\sum }_{n\in }{c}_{n,1}f(kx-n)+{\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{c}_{n,-1}f(-kx-n)$ can be used in wavelet theory for constructing two-direction wavelets, biorthogonal wavelets, wavelet packages, wavelet frames and others. The two-direction refinement equation generalizes the classical refinement equation $f\left(x\right)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}cₙf(kx-n)$, which has been used in many areas of mathematics with important applications. The following continuous extension of the classical refinement equation $f\left(x\right)={\int }_{ℝ}c\left(y\right)f(kx-y)dy$ has also various interesting applications....

The existence of a unique $C^1$ solution φ of equation (1) is proved under the condition that f: I → I is convex or concave and of class $C^1$ in I, 0 < f(x) < x in I*, and f’(x) > 0 in I. Here I = [0, a] or [0, a), 0 < a ≤ ∞, and I* = I 0.