Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant$$(*)\forall x\in {\mathbf{R}}^2,f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=\pm 1}{{ϵ}^{\text{'}}=\pm 1}}f(x+(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\left)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=\pm 1}{{ϵ}^{\text{'}}=\pm 1}}f(x+a(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\left)\right).$$Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^{\infty }$ du système d’équations; l’idéal de ${ℰ}^{\text{'}}({\mathbf{R}}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière...

Let A be a complex, commutative Banach algebra and let $M_A$ be the structure space of A. Assume that there exists a continuous homomorphism h:L¹(G) → A with dense range, where L¹(G) is a group algebra of the locally compact abelian group G. The main results of this note can be summarized as follows: (a) If every weakly almost periodic functional on A with compact spectra is almost periodic, then the space $M_A$ is scattered (i.e., $M_A$ has no nonempty perfect subset). (b) Weakly almost periodic functionals...