In 1999 Nina Zorboska and in 2003 P. S. Bourdon, D. Levi, S. K. Narayan and J. H. Shapiro investigated the essentially normal composition operator $C_{\varphi }$, when $\varphi$ is a linear-fractional self-map of $𝔻$. In this paper first, we investigate the essential normality problem for the operator $T_w{C}_{\varphi }$ on the Hardy space $H^2$, where $w$ is a bounded measurable function on $\partial 𝔻$ which is continuous at each point of $F\left(\varphi \right)$, $\varphi \in 𝒮\left(2\right)$, and $T_w$ is the Toeplitz operator with symbol $w$. Then we use these results and characterize the essentially normal...

On étudie dans ce travail les projections de norme 1 du bidual $E^{\text{'}\text{'}}$ d’un espace de Banach $E$ sur l’image canonique $i_E\left(E\right)$ de $E$ dans $E^{\text{'}\text{'}}$. On montre que dans un certain nombre de cas, il y a unicité de la projection de norme 1. On en déduit des théorèmes d’existence et d’unicité du prédual de $E$. On donne ensuite diverses applications, en particulier aux espaces dont la norme est différentiable sur un ensemble dense et aux espaces ne contenant pas ${\ell }^1\left(N\right)$.