On étudie dans cet article les champs de vecteurs de classe ${𝒞}^1$ sur les surfaces compactes éventuellement à bord. On montre que si les singularités sont des selles sans liaison entre elles, s’il n’y a pas de feuille compacte intérieure et si le champ est transverse au bord, la surface admet une décomposition canonique. Suivant les cas cette décomposition comporte au plus trois ou quatre composantes. L’une est orientable sans bord, l’une est non orientable sans bord et il reste soit une composante...

We give a meaning to derivative of a function $uℝ\to X$, where $X$ is a complete metric space. This enables us to investigate differential equations in a metric space. One can prove in particular Gronwall’s Lemma, Peano and Picard Existence Theorems, Lyapunov Theorem or Nagumo Theorem in metric spaces. The main idea is to define the tangent space ${𝒯}_{x}X$ of $x\in X$. Let $u,v[0,1)\to X$, $u\left(0\right)=v\left(0\right)$ be continuous at zero. Then by the definition $u$ and $v$ are in the same equivalence class if they are tangent at zero, that is if $$\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{d\left(u\right(h),v(h\left)\right)}{h}=0.$$ By ${𝒯}_{x}X$ we denote...