La catégorie des fibrés vectoriels sur les variétés $M$ linéaires par morceaux se plonge dans une catégorie des classes d’équivalence $\left[\mathbf{I}\right]$ de faisceaux $\mathbf{I}$ de modules sur les faisceaux $\mathbf{A}\left(M\right)$ de germes des fonctions lissables, et on construit les classes $p\left(\right[\mathbf{I}\left]\right)\in H^{4*}(M;R)$ de Pontrjagin, vérifiant des axiomes habituels. Chaque variété $M$ possède un objet tangent $\left[\xi \right(M\left)\right]$ dans cette catégorie, et $p\left(\right[\xi \left(M\right)\left]\right)$ est la classe totale de Pontrjagin associée à $M$.

Exposé succinct d’une démonstration du théorème de division pour les fonctions $p$ fois continûment différentiables $(p\le \infty )$, donnant pour les classes du quotient et du reste les meilleurs résultats possibles lorsque $p$ est fini.