Let [0;a₁(x),a₂(x),…] be the regular continued fraction expansion of an irrational x ∈ [0,1]. We prove mainly that, for α > 0, β ≥ 0 and for almost all x ∈ [0,1], $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\alpha /log2$ if α < 1 and β ≥ 0, $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$ if α = 1 and β < 1, and, if α > 1 or α = 1 and β >1, $lim in{f}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$, $lim su{p}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\infty$, where $a{ⁿ}_i\left(x\right)=a_i\left(x\right)$ if $a_i\left(x\right)\le n^{\alpha }lo{g}^{\beta }n$ and $a{ⁿ}_i\left(x\right)=0$ otherwise, for all i ∈ 1,…,n.

Soit $X^{\epsilon }$ la solution de l’équation différentielle stochastique suivante: $X_t^{\epsilon }=x+{\sum }_{i=1}^r{\int }_0^t{\sigma }_i\left(X_s^{\epsilon }\right)d{W}_s^i+\epsilon {\sum }_{j=1}^l{\int }_0^t\sigma {̃}_j\left(X_s^{\epsilon }\right)dW{̃}_s^j+{\int }_0^{t}b\left(X_s^{\epsilon }\right)ds$, et considérons ${\phi }^{\epsilon }\varphi =\varphi \left(X^{\epsilon }\right)$. L’objectif de cet article est d’établir le principe de grandes déviations pour la famille des lois induites par $X^{\epsilon }:\epsilon >0$ pour la norme höldérienne. Par conséquent, on montre le même résultat pour la famille des lois induites par ${\phi }^{\epsilon }\varphi :\epsilon >0$. Enfin, on donne une application de ces résultats au filtrage non linéaire.