Let $K$ be a finite field of characteristic $p$. Let $K\left(\right(x\left)\right)$ be the field of formal Laurent series $f\left(x\right)$ in $x$ with coefficients in $K$. That is,$$f\left(x\right)=\sum _{n=n_0}^{\infty }{f}_n{x}^n$$with $n_0\in 𝐙$ and $f_n\in K(n=n_0,n_0+1,\cdots )$. We discuss the distribution of ${\left(\left\{f^m\right\}\right)}_{m=0,1,2,\cdots }$ for $f\in K\left(\right(x\left)\right)$, where$$\left\{f\right\}:=\sum _{n=0}^{\infty }{f}_n{x}^n\in K\left[\left[x\right]\right]$$denotes the nonnegative part of $f\in K\left(\right(x\left)\right)$. This is a little different from the real number case where the fractional part that excludes constant term (digit of order 0) is considered. We give an alternative proof of a result by De Mathan obtaining the generic distribution for $f$ with $f_n\ne 0$ for some $n\<0$. This distribution is...

On explicite une conjugaison en mesure entre le décalage sur le système dynamique associé à une substitution primitive et une transformation adique sur le support d'un sous-shift de type fini, à savoir l'ensemble des chemins d'un automate dit des préfixes-suffixes. En caractérisant les préimages par la conjugaison des chemins périodiques de l'automate, on montre que cette conjugaison est injective sauf sur un ensemble dénombrable, sur lequel elle est finie-à-un. On en déduit l'existence d'une suite...

Le point fixe $u$ d’une substitution injective uniforme de module $\sigma$ sur un alphabet $A$ est examiné du point de vue du nombre $P(u,n)$ de ses blocs distincts de longueur $n$. Lorsque $u$ est minimal et $A$ de cardinal deux, nous construisons un automate pour la suite $n\to P(u,n+1)-P(u,n)$.

Dans quelle mesure la régularité des chiffres d’un nombre réel dans une base entière, celle des quotients partiels du développement en fraction continuée d’un nombre réel, ou celle des coefficients d’une série formelle sont-elles liées à l’algébricité ou à la transcendance de ce réel ou de cette série formelle  ? Nous proposons un survol de résultats récents dans le cas où la régularité évoquée ci-dessus est celle de suites automatiques, substitutives, ou sturmiennes.

Soit $u=(u_n{)}_{n\in \mathbf{N}}$ une suite strictement croissante d’entiers reconnaissable par un automate fini. Nous montrons qu’une condition nécessaire et suffisante pour que l’ensemble normal associé a $u$ soit exactement $\mathbf{R}\setminus \mathbf{Q}$ est que l’un au moins des sommets qui reconnaît la suite $u$ soit précédé dans le graphe de l’automate par un sommet possédant au moins deux circuits fermés distincts. Cette condition peut se traduire quantitativement en disant que la suite $u$ doit être plus “dense” que toute suite exponentielle.

We establish new combinatorial transcendence criteria for continued fraction expansions. Let $\alpha =[0;a_1,a_2,...]$ be an algebraic number of degree at least three. One of our criteria implies that the sequence of partial quotients ${\left(a_{\ell }\right)}_{\ell \ge 1}$ of $\alpha$ is not ‘too simple’ (in a suitable sense) and cannot be generated by a finite automaton.

We prove that automatic sequences generated by synchronizing automata satisfy the full Sarnak conjecture. This is of particular interest, since Berlinkov proved recently that almost all automata are synchronizing.

This paper studies the descriptional complexity of (i) sequences over a finite alphabet ; and (ii) subsets of $N$ (the natural numbers). If ${\left(s\left(i\right)\right)}_{i\ge 0}$ is a sequence over a finite alphabet $\Delta$, then we define the $k$-automaticity of $s,A_s^k\left(n\right)$, to be the smallest possible number of states in any deterministic finite automaton that, for all $i$ with $0\le i\le n$, takes $i$ expressed in base $k$ as input and computes $s\left(i\right)$. We give examples of sequences that have high automaticity in all bases $k$ ; for example, we show that the characteristic...