On classifie les orbites de $H$ sur l’immeuble de Bruhat-Tits de $G$ pour trois paires sphériques $(G,H)$ de groupes $p$-adiques classiques.

We prove a conjecture of Kottwitz and Rapoport which implies a converse to Mazur’s Inequality for all (connected) split and quasi-split unramified reductive groups. Our results are related to the non-emptiness of certain affine Deligne-Lusztig varieties.

Soient $F$ un corps $p$-adique, $G={\mathrm{GL}}_3\left(F\right)$. Pour $\chi$ un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de $G$ sur un anneau commutatif $k$, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_{\chi }$ de $G$ sur $k$ qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de $G$ sur $k$. Nous prouvons que $M_{\chi }$ est plat sur $k$ et que si $p$ est inversible dans $k$, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit $U$ de $G$, le module $M_{\chi }^U$ est libre de rang fini sur $k$. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons...

Let $k$ be a field of characteristic $p\>0$. Let $D_m$ be a ${BT}_m$ over $k$ (i.e., an $m$-truncated Barsotti–Tate group over $k$). Let $S$ be a $k$-scheme and let $X$ be a ${BT}_m$ over $S$. Let $S_{D_m}\left(X\right)$ be the subscheme of $S$ which describes the locus where $X$ is locally for the fppf topology isomorphic to $D_m$. If $p\ge 5$, we show that $S_{D_m}\left(X\right)$ is pure in $S$, i.e. the immersion $S_{D_m}\left(X\right)\hookrightarrow S$ is affine. For $p\in \{2,3\}$, we prove purity if $D_m$ satisfies a certain technical property depending only on its $p$-torsion $D_m\left[p\right]$. For $p\ge 5$, we apply the developed techniques to show that all level $m$...

Soient $K$ un corps global, $T$ un $K$-tore, $S$ un ensemble fini de places de $K$. On note $K_v$ le complété de $K$ en $v\in S$. Soit $T\left(K\right)$, resp. $T\left(K_v\right)$, le groupe des points $K$-rationnels, resp. $K_v$-rationnels, de $T$. Notons $T\left(O_v\right)\subset T\left(K_v\right)$ le sous-groupe compact maximal. Nous montrons que pour $T$ et $S$ convenables l’application $T\left(K\right)\to {\prod }_{v\in S}T\left(K_v\right)/T\left(O_v\right)$ induite par l’application diagonale n’est pas surjective. Cela implique que pour $v$ convenable le groupe $T\left(O_v\right)$ ne couvre pas forcément toutes les classes de $R$-équivalence de $T\left(K_v\right)$. Lorsque $K$ est un corps de fonctions d’une variable...

Soit $G$ l’ensemble des points d’un groupe algébrique semi-simple connexe de rang relatif un sur un corps local ultramétrique. Nous décrivons tous les sous-groupes discrets de type fini sans torsion de $G\times G$ qui agissent proprement et cocompactement sur $G$ par multiplication à gauche et à droite. Nous montrons qu’après une petite déformation dans $G\times G$ un tel sous-groupe agit encore librement, proprement discontinûment et cocompactement sur $G$.