Les espaces du type de Beppo Levi

Jacques Deny; Jacques-Louis Lions

Annales de l'institut Fourier (1954)

  • Volume: 5, page 305-370
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Soit Ω un ouvert quelconque connexe de R n . Soit E un espace vectoriel de distributions sur Ω , séparé et complet. On désigne par B L m ( E ) l’espace des distributions sur Ω dont toutes les dérivées d’ordre m sont dans E . Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si E = L 2 ( Ω ) , on écrit B L = B L ( Ω ) au lieu de B L 1 ( L 2 ( Ω ) ) . La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces B L 1 ( E )  ; la seconde associe à toute fonction F ∈ B L ( Ω ) une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure nulle ; la troisième aborde l’étude des B L m ( E ) . Parmi les résultats principaux, signalons : 1) l’espace séparé associé à B L m ( E ) est complet ; 2) si n > 2 , l’espace D ^ 1 ( Ω ) , complété de D ( Ω ) pour la norme ∥ φ ∥ 1 = ( ∫ Ω | grad → φ | 2 d x ) 1 / 2 est un espace de distributions. Si n = 2 , il en est encore ainsi, si et seulement si, Ω est de complémentaire non polaire ; 3) pour que le problème de Neumann relatif à un ouvert connexe borné Ω et à l’équation Δ u = 0 soit possible (en un certain sens) il faut et il suffit que Ω soit un ouvert de Nikodym (i.e. toute F ∈ B L ( Ω ) est dans L 2 ( Ω ) ) ; 4) pour qu’une F ∈ B L ( Ω ) soit dans D ^ 1 ( Ω ) , il faut et il suffit qu’une fonction “précisée” F * , associée à F , admette la pseudo-limite 0 quasi partout à la frontière, et à l’infini si n > 2 et Ω non borné, etc.

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Deny, Jacques, and Lions, Jacques-Louis. "Les espaces du type de Beppo Levi." Annales de l'institut Fourier 5 (1954): 305-370. <http://eudml.org/doc/73718>.

@article{Deny1954,
abstract = {Soit $\Omega $ un ouvert quelconque connexe de $\{\bf R\}^n$. Soit $E$ un espace vectoriel de distributions sur $\Omega $, séparé et complet. On désigne par $BL_m(E)$ l’espace des distributions sur $\Omega $ dont toutes les dérivées d’ordre $m$ sont dans $E$. Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si $E=L^2(\Omega )$, on écrit $BL=BL(\Omega )$ au lieu de $BL_1(L^2(\Omega ))$. La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces $BL_1(E)$ ; la seconde associe à toute fonction $F\in BL(\Omega )$ une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure nulle ; la troisième aborde l’étude des $BL_m(E)$. Parmi les résultats principaux, signalons : 1) l’espace séparé associé à $BL_m(E)$ est complet ; 2) si $n&gt;2$, l’espace $\widehat\{\bf D\}^1(\Omega )$, complété de $\{\bf D\}(\Omega )$ pour la norme $\Vert \varphi \Vert _1=(\int _\Omega \vert \mathrel \{\mathop \{\hspace\{0.0pt\}\rm grad\}\limits ^\{\rightarrow \}\}\, \varphi \vert ^2dx)^\{1/2\}$ est un espace de distributions. Si $n=2$, il en est encore ainsi, si et seulement si, $\Omega $ est de complémentaire non polaire ; 3) pour que le problème de Neumann relatif à un ouvert connexe borné $\Omega $ et à l’équation $\Delta u=0$ soit possible (en un certain sens) il faut et il suffit que $\Omega $ soit un ouvert de Nikodym (i.e. toute $F\in BL(\Omega )$ est dans $L^2(\Omega )$) ; 4) pour qu’une $F\in BL(\Omega )$ soit dans $\widehat\{\bf D\}^1(\Omega )$, il faut et il suffit qu’une fonction “précisée” $F^*$, associée à $F$, admette la pseudo-limite 0 quasi partout à la frontière, et à l’infini si $n&gt;2$ et $\Omega $ non borné, etc.},
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