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Si l’on prend comme fonctions harmoniques les solutions locales de l’équation, les fonctions surharmoniques associées sont telles que les potentiels de support ponctuel donné sont proportionnels et que l’effilement ne dépend pas de l’opérateur $L$ ; on détermine aussi la plus grande minorante harmonique dans $\omega$ et $\in W^{1,2}\left(\omega \right)$.

L’objet de cet article est l’étude de la classe des fonctions surharmoniques associées à l’opérateur $L$ et appartenant à $W^{1,2}$ (resp. $W_{\mathrm{loc}}^{1,2}$) : on commence par montrer qu’elles coïncident avec les sursolutions (resp. sursolutions locales) ; puis on étudie les propriétés de stabilité de cette classe, en particulier par balayage sur un ensemble quelconque ; enfin on caractérise les potentiels ${ϵ}_0^{1,2}$, qui sont les potentiels d’énergie finie.

Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot. Dans un espace $\Omega$ localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le 3e est une...

Cet article complète les résultats obtenus par J.-M. Bony et par l’auteur. On montre d’abord qu’on peut définir les fonctions harmoniques adjointes au faisceau donné, et qu’elles coïncident avec les solutions de l’équation adjointe. Puis, dans un ouvert assez régulier, la solution du problème de Dirichlet dans le cadre axiomatique est comparée à la solution au sens variationnel construite par M. Derridj.

Soient $\Omega$ un domaine borné de $R^n$ et $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ l’adhérence de $𝒟\left(\Omega \right)$ dans l’espace $W^{1,2}\left(\Omega \right)$ des fonctions qui $\in L^2\left(\Omega \right)$ ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans $\Omega$, majorée p.p. au voisinage de $\partial \Omega$ par une fonction $\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ est $\le 0$ p.p. dans $\Omega$. Puis on vérifie que les solutions locales de $Lu=0$ forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un ouvert quelconque....

La métrique attachée de façon naturelle à des champs de vecteurs $C^{\infty }$ est susceptible de plusieurs définitions voisines ; on montre que, suivant la définition adoptée, elle peut avoir, ou ne pas avoir, un caractère localement lipschitzien qui a pour conséquence l’existence de points $L$-réguliers, pour certains opérateurs différentiels $L$, sur les frontières des boules pour la métrique.

Soit l’opérateur elliptique dégénéré $L$, du type considéré par J.-M. Bony dans ses travaux récents (par ex. Conférences du C.I.M.E., Stresa, juillet 1969), tel que le faisceau associé de fonctions harmoniques vérifie les axiomes de Brelot : on montre que les fonctions surharmoniques associées $u$ sont localement intégrables et caractérisées par $Lu\le 0$, et que les potentiels à support ponctuel donné sont proportionnels.

On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme $$-\sum _i\frac{\partial u}{\partial x_i}+\left(\sum _j{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}+d_{j}u\right)+\sum _i{b}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=0$$ les propriétés démontrées dans le cas $d_i=b_i=c=0$ : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction $ϵW_0^{1,2}$ ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions surharmoniques...