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Sur les suites transfinies convergentes de fonctions de Baire

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Définition: Nous disons qu'une suite transfinie (du type Ω) de fonctions de variable réelle f_1(x),f_2(x),...,f_ω(x),f_{ω + 1}(x),...,f_ξ(x),... (ξ<Ω) (1) a pour limite la fonction f(x), si, pour tout x réel, la suite des nombres (1) a pour limite le nombre f(x). Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Si la suite (1) est une suite convergente de fonction continues, tous ses termes sont égaux à partir d'une certaine place.

Sur une condition pour qu'un continu soit une courbe jordanienne

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le theoreme suivant: Pour qu'en continu C (situé dans un espace euclidien à m dimensions) soit une courbe jordanienne, il faut et il suffit que, pour tout ϵ > 0, il soit une somme d'un nombre fini de continus de diamètre < ϵ.

Sur un exemple effectif d'une fonction non représentable analytiquement

Wacław Sierpiński (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de donner un exemple effectif d'une fonction non représentable analytiquement sans faire appel aux nombres transfinis et à la théorie des ensembles (A) et sans utiliser les opérations d'addition et de multiplication à partir d'une infinité non dénombrable d'ensembles ni dans la construction de l'exemple ni dans la démonstration.

Sur un problème de M. Lebesgue

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer que pour qu'une fonction de deux variables x, y soit de classe α = 0 dans le plan (x,y), il suffit qu'elle soit de classe 0 de Baire sur toute droite x=const. et sur toute courbe (continue) y=f(x). En plus si cette propriété était exacte pour α=2, on aurait l'inégalité 2^{א_0} > א_1.

Sur une propriété des fonctions de M. Hamel

Wacław Sierpiński (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant suggeré par Monsieur Nikodym: Théorème: Une fonction discontinue d'une variable réelle f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y), ne peut être majorée par aucune fonction mesurable.

Démonstration d'un théorème de M. Baire sur les fonctions représentables analytiquement

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer sans l'aide des nombres transfinis et sans utiliser la théorie des ensembles mesurables B (ensembles de Borel) le suivant théorème de Baire: Toute fonction représentable analytiquement est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, quand on néglige les ensembles de I -e catégorie par rapport à cet ensemble.

Contribution à la topologie des ensembles dénombrables

Stefan Mazurkiewicz, Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de déterminer la puissance de deux classes de types topologiques dénombrables: de celle des types dénombrables fermés et de celle des types clairsemés. Mazurkiewicz et Sierpiński démontrent que la puissance de la première de ces classes est א_1 et que la seconde classe est de puissance du continu.

Sur les fonctions approximativement discontinues

Stefan Kempisty (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Pour toute fonction f(x) d'une variable réelle l'ensemble E[L^+(x)<l^-(x)] est au plus denombrable.

Sur l'équation fonctionnelle f(x) + f(x+y)

Stanisław Kaczmarz (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est l'étude de l'équation fonctionnelle f(x)+f(x+y)= φ(y)f(x+y/2) où φ (x) est regardée comme une fonction donnée, et f(x) comme l'inconnue.

Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Toute fonction mesurable f(x) qui satisfait pour tous les nombres réels x et y à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est de la forme Ax où A est une constante.

Sur un problème concernant les fonctions continues

Stefan Mazurkiewicz, Wacław Sierpiński (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de montrer la solution au problème suivante de Banach: Problème: P étant un ensemble plan fermé, ou, plus généralement, mesurable (B), quel est l'ensemble N(P) de tous les nombres réels b, tels que la droite y=b rencontre l'ensemble P en une infinité non dénombrable de points ?

Démonstration d'un théorème sur les fonctions additives d'ensemble

Wacław Sierpiński (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Soit une fonction d'ensembles F, additive et définie sur la famille additive d'ensembles T. Tout ensemble E_0 de la famille T se divise en deux ensembles P et N, tels que P ∈ T, N ∈ T et 1. f(E) ≥ 0 pour E ⊂ P, E ∈ T, 2. f(E) ≤ 0 pour E ⊂ N, E ∈ T.

Sur les rapports entre l’existence des intégrales ∫ 0 1 f ( x , y ) d x , ∫ 0 1 f ( x , y ) d y et ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 f ( x , y ) d y

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer que la réponse au problème (posée par Stanisław Ruziewicz) suivant: L'existence (pour une function bornée f(x,y), définie dans le carré 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1) des intégrales au sens de Lebesgue: ∫_0^1f(x,y)dx pour 0 ≤ y ≤ 1 ∫_0^1f(x,y)dy pour 0 ≤ x ≤ 1 entraîne-t-elle toujours l'existence de l'intégrale (au sens de Lebesgue) ∫_0^1 dx∫_0^1f(x,y)dy ? est négative, si l'on admet l'hypothèse du continu.

Sur les fonctions convexes mesurables

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Toute fonction mesurable et convexe dans l'intervalle <a,b> est continue à l'intérieur de cet intervalle.