For positive integers m, U and V, we obtain an asymptotic formula for the number of integer points (u,v) ∈ [1,U] × [1,V] which belong to the modular hyperbola uv ≡ 1 (mod m) and also have gcd(u,v) =1, which are also known as primitive points. Such points have a nice geometric interpretation as points on the modular hyperbola which are "visible" from the origin.
We show that if p ≠ 5 is a prime, then the numbers cover all the nonzero residue classes modulo p.
Récemment, B. Green et T. Tao ont montré que : l’ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de toutes longueurs répondant ainsi à une question ancienne à la formulation particulièrement simple. La démonstration n’utilise aucune des méthodes “transcendantes” ni aucun des grands théorèmes de la théorie analytique des nombres. Elle est écrite dans un esprit proche de celui de la théorie ergodique, en particulier de celui de la preuve par Furstenberg du théorème de Szemerédi,...