Given a 0-1 sequence x in which both letters occur with density 1/2, do there exist arbitrarily long arithmetic progressions along which x reads 010101...? We answer the above negatively by showing that a certain regular triadic Toeplitz sequence does not have this property. On the other hand, we prove that if x is a generalized binary Morse sequence then each block can be read in x along some arithmetic progression.

On sait (Cobham) qu’une suite $2$- et $3$-automatique est une suite rationnelle. Une question de Loxton et van der Poorten étend ce résultat au cas $2$- et $3$-régulier. On montre dans cet article que, si une suite vérifie une récurrence $2$- et $3$-mahlérienne d’ordre un, elle est rationnelle.

In the study of the $2$-adic sum of digits function $S_2\left(n\right)$, the arithmetical function $u\left(0\right)=0$ and $u\left(n\right)={(-1)}^{n-1}$ for $n\ge 1$ plays a very important role. In this paper, we firstly generalize the relation between $S_2\left(n\right)$ and $u\left(n\right)$ to a bijective relation between arithmetical functions. And as an application, we investigate some aspects of the sum of digits functions $S_{𝒢}\left(n\right)$ induced by binary infinite Gray codes $𝒢$. We can show that the difference of the sum of digits function, $S_{𝒢}\left(n\right)-S_{𝒢}(n-1)$, is realized by an automaton. And the summation formula of the sum...

Soient $A_p=\{0,\cdots ,p-1\}$ et $Z\subseteq A_p^{\mathbb{N}}\times A_p^{\mathbb{N}}$ un sous-système. $Z$ est une représentation en base $p$ d’une fonction $f$ du tore si pour tout point $x$ du tore, ses développements en base $p$ sont liés par le couplage $Z$ aux développements en base $p$ de $f\left(x\right)$. On prouve que si $f$ est représentable en base $p$ alors $f\left(x\right)=(ux+\frac{m}{p-1})\text{mod}1$, où $u\in \mathbb{Z}\text{et}m\in A_p$. Réciproquement, toutes les fonctions de ce type sont représentables en base $p$ par un transducteur. On montre finalement que les fonctions du tore qui peuvent être représentées par automate cellulaire sont exclusivement les multiplications...