Soit $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $s_q\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme$$G(x,y,\theta ;\alpha ,𝐡)=\sum _{x\<n\le x+y}exp\left(2i\pi ({\alpha }_1{s}_q\left(h_{1}n\right)+\cdots +{\alpha }_r{s}_q\left(h_{r}n\right)+\theta n)\right),$$pour $r\in {\mathbb{N}}^{*}$, $𝐡\in {\mathbb{N}}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $𝐡$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $𝐡$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications....

We prove that every Sturmian word ω has infinitely many prefixes of the form UnVn3, where |Un| < 2.855|Vn| and limn→∞|Vn| = ∞. In passing, we give a very simple proof of the known fact that every Sturmian word begins in arbitrarily long squares.

We prove that a Sturmian bisequence, with slope $\alpha$ and intercept $\rho$, is fixed by some non-trivial substitution if and only if $\alpha$ is a Sturm number and $\rho$ belongs to $\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$. We also detail a complementary system of integers connected with Beatty bisequences.

In this paper we study multi-dimensional words generated by fixed points of substitutions by projecting the integer points on the corresponding broken halfline. We show for a large class of substitutions that the resulting word is the restriction of a linear function modulo $1$ and that it can be decided whether the resulting word is space filling or not. The proof uses lattices and the abstract number system associated with the substitution.

Une substitution est un morphisme de monoïdes libres : chaque lettre a pour image un mot, et l'image d'un mot est la concaténation des images de ses lettres. Cet article introduit une généralisation de la notion de substitution, où l'image d'une lettre n'est plus un mot mais un motif, c'est-à-dire un “mot à trous”, l'image d'un mot étant obtenue en raccordant les motifs correspondant à chacune de ses lettres à l'aide de règles locales. On caractérise complètement les substitutions par des motifs...

Let $\varphi$ be a substitution over a 2-letter alphabet, say $\{a,b\}$. If $\varphi \left(a\right)$ and $\varphi \left(b\right)$ begin with $a$ and $b$ respectively, $\varphi$ has two fixed points beginning with $a$ and $b$ respectively.We characterize substitutions with two cofinal fixed points (i.e., which differ only by prefixes). The proof is a combinatorial one, based on the study of repetitions of words in the fixed points.

On étudie, dans cet article, les propriétés combinatoires de mots engendrés à l’aide de $q$-automates déterministes dénombrables de degré borné, ou de manière équivalente, engendrés par des substitutions de longueur constante uniformément bornées sur un alphabet dénombrable. En particulier, on montre que la complexité de tels mots est au plus polynomiale et que, sur plusieurs exemples, elle est au plus de l’ordre de grandeur de $n{(logn)}^p$.

Soient $U$ et $V$ deux systèmes de numération de Bertrand, $\alpha$ et $\beta$ deux $\beta$-nombres multiplicativement indépendants tels que $L\left(U\right)=L\left(\alpha \right)$ et $L\left(V\right)=L\left(\beta \right)$, et $E$ un sous-ensemble de $\mathbb{N}$. Si $E$ est $U$-reconnaissable et $V$-reconnaissable alors $E$ est une réunion finie de progressions arithmétiques.

On étudie ici un procédé universel d’extraction de suites - extraction en un sens élargi qui sera précisé - consistant à piquer les chiffres de l’écriture en base $d$ des indices de la suite, cela suivant une partie $E$ de $\mathbb{N}$. On s’intéresse plus particulièrement à l’action de ce procédé sur les suites périodiques, en liaison avec la régularité de la partie $E$, en termes de périodicité, de quasi-périodicité et d’automaticité. Ainsi (à une restriction évidente près), les procédés associés aux parties ultimement...

We consider subshifts arising from primitive substitutions, which are known to be uniquely ergodic dynamical systems. In order to precise this point, we introduce a symbolic notion of discrepancy. We show how the distribution of such a subshift is in part ruled by the spectrum of the incidence matrices associated with the underlying substitution. We also give some applications of these results in connection with the spectral study of substitutive dynamical systems.