Given any global field $k$ of characteristic $2$, we construct a Châtelet surface over $k$ that fails to satisfy the Hasse principle. This failure is due to a Brauer-Manin obstruction. This construction extends a result of Poonen to characteristic $2$, thereby showing that the étale-Brauer obstruction is insufficient to explain all failures of the Hasse principle over a global field of any characteristic.

L’objet de cet article est d’obtenir une formule pour la fonction zêta des hauteurs classique à partir de la fonction zêta des hauteurs multiple de La Bretèche, et d’utiliser cette formule pour prolonger de manière méromorphe la fonction zêta des hauteurs. En particulier, il est montré que celle-ci peut être prolongée au demi-plan $\{s\in ℂ:\Re es\>\frac{3}{4}\}$ et que la frontière naturelle de son domaine naturel de méromorphie est $\{s\in ℂ:\Re es=\frac{3}{4}\}$.

On montre, sous certaines hypothèses un résultat en direction de la conjecture de Serre pour $GS{p}_4$ formulée dans un autre article avec F. Herzig : si la représentation résiduelle associée à une forme de Siegel de genre $2$, de niveau premier à $p$, $p$-ordinaire de poids $p$-petit, laisse stables deux droites (au lieu d’une) dans un plan lagrangien, alors cette forme possède une forme compagnon de poids prescrit. Notre méthode consiste à traduire, grâce au théorème de comparaison mod. $p$ de Faltings, l’existence...

This is a brief exposition on the uses of non-commutative fundamental groups in the study of Diophantine problems.