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Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields

Jean-Benoît Bost (2001)

Publications Mathématiques de l'IHÉS

We prove an algebraicity criterion for leaves of algebraic foliations defined over number fields. Namely, consider a number field K embedded in C , a smooth algebraic variety X over K , equipped with a K - rational point P , and F an algebraic subbundle of the its tangent bundle T X , defined over K . Assume moreover that the vector bundle F is involutive, i.e., closed under Lie bracket. Then it defines an holomorphic foliation of the analytic manifold X ( C ) , and one may consider its leaf F through P . We prove...

Arithmetic of 0-cycles on varieties defined over number fields

Yongqi Liang (2013)

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure

Let X be a rationally connected algebraic variety, defined over a number field k . We find a relation between the arithmetic of rational points on  X and the arithmetic of zero-cycles. More precisely, we consider the following statements: (1) the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to weak approximation for  K -rational points on  X K for all finite extensions K / k ; (2) the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to weak approximation in some sense that we define for zero-cycles of degree...

Bicyclotomic polynomials and impossible intersections

David Masser, Umberto Zannier (2013)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

In a recent paper we proved that there are at most finitely many complex numbers t 0 , 1 such that the points ( 2 , 2 ( 2 - t ) ) and ( 3 , 6 ( 3 - t ) ) are both torsion on the Legendre elliptic curve defined by y 2 = x ( x - 1 ) ( x - t ) . In a sequel we gave a generalization to any two points with coordinates algebraic over the field Q ( t ) and even over C ( t ) . Here we reconsider the special case ( u , u ( u - 1 ) ( u - t ) ) and ( v , v ( v - 1 ) ( v - t ) ) with complex numbers u and v .

Contre-exemples au principe de Hasse pour certains tores coflasques

Régis de la Bretèche, Tim Browning (2014)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Nous étudions le comportement asymptotique du nombre de variétés dans une certaine classe ne satisfaisant pas le principe de Hasse. Cette étude repose sur des résultats récemment obtenus par Colliot-Thélène [3].

Corps de définition et points rationnels

Geoffroy Derome (2003)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Soit 𝔒 un objet algébrique (par exemple une courbe ou un revêtement) défini sur ¯ et de corps des modules un corps de nombres K . Il est bien connu que 𝔒 n’admet pas nécessairement de K -modèle. En utilisant deux résultats récents dus à P. Dèbes, J.-C. Douai et M. Emsalem nous donnerons un majorant pour le degré d’un corps de définition de 𝔒 sur K . Dans une deuxième partie, nous donnerons des conditions suffisantes sur l’ordre de Aut( 𝔒 ) pour que 𝔒 admette un K -modèle.

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