The notion of the characteristic of rings and its basic properties are formalized [14], [39], [20]. Classification of prime fields in terms of isomorphisms with appropriate fields (ℚ or ℤ/p) are presented. To facilitate reasonings within the field of rational numbers, values of numerators and denominators of basic operations over rationals are computed.

Soient $X$ une variété abélienne sur un corps de nombres $E$ et $G$ son groupe de Mumford–Tate. Soit $v$ une valuation de $E$ et pour tout nombre premier $\ell$ tel que $v\left(\ell \right)=0$, soit $F_{\ell }\in G({\mathbf{Q}}_{\ell })$ l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale $\ell$-adique de $X$. On montre que si $X$ a une bonne réduction ordinaire en $v$, alors il existe $F\in G\left(\mathbf{Q}\right)$ tel que, pour tout $\ell$, $F_{\ell }$ soit conjugué à $F$ dans $G\left({\mathbf{Q}}_{\ell }\right)$. On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de $X$ modulo $v$.

We investigate how one can detect the dualizing property for a chain complex over a commutative local Noetherian ring $R$. Our focus is on homological properties of contracting endomorphisms of $R$, e.g., the Frobenius endomorphism when $R$ contains a field of positive characteristic. For instance, in this case, when $R$ is $F$-finite and $C$ is a semidualizing $R$-complex, we prove that the following conditions are equivalent: (i) $C$ is a dualizing $R$-complex; (ii) $C\sim 𝐑{\mathrm{Hom}}_R{(}^{n}R,C)$ for some $n>0$; (iii) ${\mathrm{G}}_C{\text{-dim}}^{n}R<\infty$ and $C$ is derived $𝐑{\mathrm{Hom}}_R{(}^{n}R,C)$-reflexive...

Soit $G$ un groupe algébrique semi-simple simplement connexe défini sur un corps algébriquement clos $𝕜$ de caractéristique positive. Nous donnons une nouvelle preuve de l’existence d’un scindage de Frobenius de la variété des drapeaux de $G$ ainsi que de la nature $G$-équivariante de celui-ci. L’outil principal est un scindage de l’endomorphisme de Frobenius défini sur toute l’algèbre des distributions de $G$ qui permet de « détordre » la structure des $G$-modules.