Let $\omega :(0,\infty )\to (0,\infty )$ be a gauge function satisfying certain mid regularity conditions. A (signed) finite Borel measure $\mu \in {ℝ}^n$ is called $\omega$-Zygmund if there exists a positive constant $C$ such that $|\mu \left(Q_{+}\right)-\mu \left(Q_{-}\right)|\le C\omega \left(\ell \left(Q_{+}\right)\right)\left|Q_{+}\right|$ for any pair $Q_{+},Q_{-}\subset {ℝ}^n$ of adjacent cubes of the same size. Similarly, $\mu$ is called an $\omega$- symmetric measure if there exists a positive constant $C$ such that $|\mu \left(Q_{+}\right)/\mu \left(Q_{-}\right)-1|\le C\omega \left(\ell \left(Q_{+}\right)\right)$ for any pair $Q_{+},Q_{-}\subset {ℝ}^n$ of adjacent cubes of the same size, $\ell \left(Q_{+}\right)=\ell \left(Q_{-}\right)\<1$. We characterize Zygmund and symmetric measures in terms of their harmonic extensions. Also, we show that the quadratic condition...

On donne une condition combinatoire effective suffisante pour que le sytème dynamique associé à une substitution de type Pisot ait un spectre purement discret. Dans le cas unimodulaire, cette condition est nécessaire dès que la substitution n'a qu'un cobord trivial ; elle est vérifiée si et seulement si le fractal de Rauzy associé à la substitution engendre un pavage auto-similaire et périodique. On en déduit des conditions de connexité des fractals de Rauzy.

Let X be a locally compact, separable metric space. We prove that $di{m}_{T}X=infdi{m}_L{X}^{\text{'}}:X^{\text{'}}ishomeomorphictoX$, where $di{m}_{L}X$ and $di{m}_{T}X$ stand for the concentration dimension and the topological dimension of X, respectively.