In 1940 S. M. Ulam (Intersci. Publ., Inc., New York 1960) imposed at the University of Wisconsin the problem: “Give conditions in order for a linear mapping near an approximately linear mapping to exist”. According to P. M. Gruber (Trans. Amer. Math. Soc. 245 (1978), 263–277) the afore-mentioned problem of S. M. Ulam belongs to the following general problem or Ulam type problem: “Suppose a mathematical object satisfies a certain property approximately. Is it then possible to approximate this objects...

We are investigating quasigroup functional equation classification up to parastrophic equivalence [Sokhatsky F.M.: On classification of functional equations on quasigroups, Ukrainian Math. J. 56 (2004), no. 4, 1259–1266 (in Ukrainian)]. If functional equations are parastrophically equivalent, then their functional variables can be renamed in such a way that the obtained equations are equivalent, i.e., their solution sets are equal. There exist five classes of generalized distributive-like quasigroup...

Let $G$ be a group and $H$ an abelian group. Let $J^{*}(G,H)$ be the set of solutions $f:G\to H$ of the Jensen functional equation $f\left(xy\right)+f\left(x{y}^{-1}\right)=2f\left(x\right)$ satisfying the condition $f\left(xyz\right)-f\left(xzy\right)=f\left(yz\right)-f\left(zy\right)$ for all $x,y,z\in G$. Let $Q^{*}(G,H)$ be the set of solutions $f:G\to H$ of the quadratic equation $f\left(xy\right)+f\left(x{y}^{-1}\right)=2f\left(x\right)+2f\left(y\right)$ satisfying the Kannappan condition $f\left(xyz\right)=f\left(xzy\right)$ for all $x,y,z\in G$. In this paper we determine solutions of the Whitehead equation on groups. We show that every solution $f:G\to H$ of the Whitehead equation is of the form $4f=2\varphi +2\psi$, where $2\varphi \in J^{*}(G,H)$ and $2\psi \in Q^{*}(G,H)$. Moreover, if $H$ has the additional property that $2h=0$ implies $h=0$ for all $h\in H$, then every...

Soit $s$ un entier naturel non nul, et $f$ une fonction entière de $s$ variables complexes. Dans un article précédent, nous avons démontré dans le cas $s=1$, que si $f$ est une solution d’un système de $2$ équations aux différences à coefficients polynomiaux dans deux directions différentes, avec une condition restrictive portant sur les équations, alors $f$ est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Dans cet article, nous démontrons ce résultat dans le cas général, et l’analogue pour le cas de...

En réponse à une question de D.W. Masser, nous démontrons que, pour presque tout système d’équations aux différences$$\sum _{0\le m\le M}{A}_m\left(z\right)f(z+\alpha m)=\sum _{0\le n\le N}{B}_n\left(z\right)f(z+\beta n)=0,$$où les $A_m$ et les $B_n$ sont des polynômes non tous nuls et $\alpha ,\beta \in {ℂ}^{*}$ sont $ℝ$-linéairement indépendants, toute solution $f$ qui est une fonction entière est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Nous avons un résultat semblable quand la deuxième équation est remplacée par une équation différentielle ${\sum }_{0\le n\le N}{B}_n\left(z\right)f^{\left(n\right)}\left(z\right)=0$.

This work deals with Feigenbaum’s functional equation ⎧ $h\left(g\left(x\right)\right)=g^p\left(h\left(x\right)\right)$, ⎨ ⎩ g(0) = 1, -1 ≤ g(x) ≤ 1, x∈[-1,1] where p ≥ 2 is an integer, $g^p$ is the p-fold iteration of g, and h is a strictly monotone odd continuous function on [-1,1] with h(0) = 0 and |h(x)| < |x| (x ∈ [-1,1], x ≠ 0). Using a constructive method, we discuss the existence of continuous unimodal even solutions of the above equation.