Let $G$ be a group and $H$ an abelian group. Let $J^{*}(G,H)$ be the set of solutions $f:G\to H$ of the Jensen functional equation $f\left(xy\right)+f\left(x{y}^{-1}\right)=2f\left(x\right)$ satisfying the condition $f\left(xyz\right)-f\left(xzy\right)=f\left(yz\right)-f\left(zy\right)$ for all $x,y,z\in G$. Let $Q^{*}(G,H)$ be the set of solutions $f:G\to H$ of the quadratic equation $f\left(xy\right)+f\left(x{y}^{-1}\right)=2f\left(x\right)+2f\left(y\right)$ satisfying the Kannappan condition $f\left(xyz\right)=f\left(xzy\right)$ for all $x,y,z\in G$. In this paper we determine solutions of the Whitehead equation on groups. We show that every solution $f:G\to H$ of the Whitehead equation is of the form $4f=2\varphi +2\psi$, where $2\varphi \in J^{*}(G,H)$ and $2\psi \in Q^{*}(G,H)$. Moreover, if $H$ has the additional property that $2h=0$ implies $h=0$ for all $h\in H$, then every...

Soit $s$ un entier naturel non nul, et $f$ une fonction entière de $s$ variables complexes. Dans un article précédent, nous avons démontré dans le cas $s=1$, que si $f$ est une solution d’un système de $2$ équations aux différences à coefficients polynomiaux dans deux directions différentes, avec une condition restrictive portant sur les équations, alors $f$ est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Dans cet article, nous démontrons ce résultat dans le cas général, et l’analogue pour le cas de...

En réponse à une question de D.W. Masser, nous démontrons que, pour presque tout système d’équations aux différences$$\sum _{0\le m\le M}{A}_m\left(z\right)f(z+\alpha m)=\sum _{0\le n\le N}{B}_n\left(z\right)f(z+\beta n)=0,$$où les $A_m$ et les $B_n$ sont des polynômes non tous nuls et $\alpha ,\beta \in {ℂ}^{*}$ sont $ℝ$-linéairement indépendants, toute solution $f$ qui est une fonction entière est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Nous avons un résultat semblable quand la deuxième équation est remplacée par une équation différentielle ${\sum }_{0\le n\le N}{B}_n\left(z\right)f^{\left(n\right)}\left(z\right)=0$.

This work deals with Feigenbaum’s functional equation ⎧ $h\left(g\left(x\right)\right)=g^p\left(h\left(x\right)\right)$, ⎨ ⎩ g(0) = 1, -1 ≤ g(x) ≤ 1, x∈[-1,1] where p ≥ 2 is an integer, $g^p$ is the p-fold iteration of g, and h is a strictly monotone odd continuous function on [-1,1] with h(0) = 0 and |h(x)| < |x| (x ∈ [-1,1], x ≠ 0). Using a constructive method, we discuss the existence of continuous unimodal even solutions of the above equation.

We obtain a result on the existence of a solution with big graph of functional equations of the form g(x,𝜑(x),𝜑(f(x)))=0 and we show that it is applicable to some important equations, both linear and nonlinear, including those of Abel, Böttcher and Schröder. The graph of such a solution 𝜑 has some strange properties: it is dense and connected, has full outer measure and is topologically big.