Dans cet article, on considère les opérateurs différentiels $T=b\left(x\right)D\left(a\right(x\left)D\right)$, où $a\left(x\right)$ et $b\left(x\right)$ sont deux fonctions mesurables, bornées et accrétives, et $D=-i\frac{d}{dx}$. Les résultats principaux portent sur les propriétés fonctionnelles de $T$, de sa racine carrée, avec applications à l’équation elliptique ${\partial }_t^{2}u-Tu=0$ sur $ℝ\times [0,+\infty [$. On démontre que $T^{1/2}{D}^{-1}$ est un opérateur de Calderón-Zygmund qui dépend analytiquement du couple $(a,b)$. Les estimations ponctuelles optimales sur le noyau du semi-groupe $\exp (-t{L}^{1/2})$ et le calcul fonctionnel permettent de développer une théorie...

We study sufficient conditions on the weight w, in terms of membership in the $A_p$ classes, for the spline wavelet systems to be unconditional bases of the weighted space $H^p\left(w\right)$. The main tool to obtain these results is a very simple theory of regular Calderón-Zygmund operators.

We introduce p-quasilocal operators and prove that if a sublinear operator T is p-quasilocal and bounded from $L_{\infty }$ to $L_{\infty }$ then it is also bounded from the classical Hardy space $H_p\left(T\right)$ to $L_p$ (0 < p ≤ 1). As an application it is shown that the maximal operator of the one-parameter Cesàro means of a distribution is bounded from $H_p\left(T\right)$ to $L_p$ (3/4 < p ≤ ∞) and is of weak type $(L_1,L_1)$. We define the two-dimensional dyadic hybrid Hardy space $H_1^{♯}\left(T^2\right)$ and verify that the maximal operator of the Cesàro means of a two-dimensional...

Cotangent type functions in Rn are used to construct Cauchy kernels and Green kernels on the conformally flat manifolds Rn/Zk where 1 &lt; = k ≤ M. Basic properties of these kernels are discussed including introducing a Cauchy formula, Green's formula, Cauchy transform, Poisson kernel, Szegö kernel and Bergman kernel for certain types of domains. Singular Cauchy integrals are also introduced as are associated Plemelj projection operators. These in turn are used to study Hardy spaces in this...

Let $M_{\beta }$ be the fractional maximal function. The commutator generated by $M_{\beta }$ and a suitable function $b$ is defined by $[M_{\beta },b]f=M_{\beta }\left(bf\right)-b{M}_{\beta }\left(f\right)$. Denote by $𝒫\left({ℝ}^n\right)$ the set of all measurable functions $p(·):{ℝ}^n\to [1,\infty )$ such that $$1<p_{-}:=\underset{x\in {ℝ}^n}{\mathrm{ess}\inf }p\left(x\right)\text{and}{p}_{+}:=\underset{x\in {ℝ}^n}{\mathrm{ess}\sup }p\left(x\right)<\infty ,$$ and by $ℬ\left({ℝ}^n\right)$ the set of all $p(·)\in 𝒫\left({ℝ}^n\right)$ such that the Hardy-Littlewood maximal function $M$ is bounded on $L^{p(·)}\left({ℝ}^n\right)$. In this paper, the authors give some characterizations of $b$ for which $[M_{\beta },b]$ is bounded from $L^{p(·)}\left({ℝ}^n\right)$ into $L^{q(·)}\left({ℝ}^n\right)$, when $p(·)\in 𝒫\left({ℝ}^n\right)$, $0<\beta <n/p_{+}$ and $1/q(·)=1/p(·)-\beta /n$ with $q(·)(n-\beta )/n\in ℬ\left({ℝ}^n\right)$.

We give sufficient conditions on the kernel K for the convolution operator Tf = K ∗ f to be bounded on Hardy spaces $H^p\left(G\right)$, where G is a homogeneous group.

Étant donné $\Gamma$ une courbe de Jordan rectifiable du plan complexe admettant le paramétrage par la longueur d’arc $z\left(s\right)$, on étudie les relations entre la géométrie de $\Gamma$ et la position dans $L^2\left(\Gamma \right)$ des deux espaces de Hardy associés à $\Gamma$. Plus précisément, on montre que si $L^2\left(\Gamma \right)$ est la somme presque-orthogonale des espaces de Hardy, la courbe $\Gamma$ satisfait à une condition de type corde-arc, c’est-à-dire que pour tout $s$ et tout $t$ de $\mathbf{R}$, $|s-t|\le C\left|z\right(s)-z(t\left)\right|$. Ce résultat est une sorte de réciproque à la généralisation du théorème de Calderón...