Cet article présente les idées, les outils et les résultats qui ont permis à Chang S.-Y. A., M. Gursky et Yang P. de donner une caractérisation intégrale conforme de la sphère standard en dimension 4. Nous démarrons avec une généralisation à cette dimension de la formule de Polyakov pour les déterminants régularisés, que nous utilisons ensuite pour résoudre des problèmes du type “Yamabe” pour des polynômes quadratiques en la courbure de Ricci. Nous introduisons au passage le concept de paire conforme,...

Let $(M,g)$ be a complete noncompact Riemannian manifold. We consider gradient estimates on positive solutions to the following nonlinear equation ${\Delta }_{f}u+c{u}^{-\alpha }=0$ in $M$, where $\alpha$, $c$ are two real constants and $\alpha >0$, $f$ is a smooth real valued function on $M$ and ${\Delta }_f=\Delta -\nabla f\nabla$. When $N$ is finite and the $N$-Bakry-Emery Ricci tensor is bounded from below, we obtain a gradient estimate for positive solutions of the above equation. Moreover, under the assumption that $\infty$-Bakry-Emery Ricci tensor is bounded from below and $\left|\nabla f\right|$ is bounded from above,...

We prove gradient estimates for hypersurfaces in the hyperbolic space Hn+1, expanding by negative powers of a certain class of homogeneous curvature functions F. We obtain optimal gradient estimates for hypersurfaces evolving by certain powers p > 1 of F-1 and smooth convergence of the properly rescaled hypersurfaces. In particular, the full convergence result holds for the inverse Gauss curvature flow of surfaces without any further pinching condition besides convexity of the initial hypersurface....