We survey recent developments on the Kakeya problem.[Proceedings of the 6th International Conference on Harmonic Analysis and Partial Differential Equations, El Escorial (Madrid), 2002].

Le système AutoGraphiX (AGX1 et AGX2) permet, parmi d’autres fonctions, la génération automatique de conjectures en théorie des graphes et, dans une version plus récente, la preuve automatique de conjectures simples. Afin d’illustrer ces fonctions et le type de résultats obtenus, nous étudions systématiquement ici des conjectures obtenues par ce système et de la forme ${\underline{b}}_n\le g\oplus i\le {\overline{b}}_n$ où $g$ désigne la maille (ou longueur du plus petit cycle) du graphe $G=(V,E)$, $i$ un autre invariant choisi parmi le nombre de stabilité,...

Le système AutoGraphiX (AGX1 et AGX2) permet, parmi d'autres fonctions, la génération automatique de conjectures en théorie des graphes et, dans une version plus récente, la preuve automatique de conjectures simples. Afin d'illustrer ces fonctions et le type de résultats obtenus, nous étudions systématiquement ici des conjectures obtenues par ce système et de la forme ${\underline{b}}_n\le g\oplus i\le {\overline{b}}_n$ où g désigne la maille (ou longueur du plus petit cycle) du graphe G=(V, E), i un autre invariant choisi parmi le nombre...

On étudie à l'aide du système AutoGraphiX 2 (AGX 2) des relations de la forme $${\underline{b}}_n\le g\oplus i\le {\overline{b}}_n$$ où g désigne la maille d'un graphe G=(V, E), i un autre invariant parmi la distance moyenne $\overline{l}$, l'index λ1, l'indice de Randić R et le nombre de domination β, $\oplus$ désigne l'une des opérations +, -, ×, /, ${\underline{b}}_n$ et ${\overline{b}}_n$ des fonctions de l'ordre n du graphe qui bornent l'expression $g\oplus i$ et sont atteintes pour tout n (sauf éventuellement de très petites valeurs du fait des effets de bord). Les résultats prouvés ou discutés ci-dessous...

Uno de los aspectos claves en las telecomunicaciones está relacionado con el uso de los códigos correctores de errores para la transmisión de información. Actualmente se utiliza una clase muy simple de códigos; la implementación física de un código corrector de errores es complicada y costosa. En el campo de la Informática Teórica se intenta abordar el problema de los códigos correctores de errores desde diferentes ángulos. Uno de ellos es el de la Combinatoria Algebraica y, en particular, los grafos...

Let $G$ be a finite group. The main supergraph $𝒮\left(G\right)$ is a graph with vertex set $G$ in which two vertices $x$ and $y$ are adjacent if and only if $o\left(x\right)\mid o\left(y\right)$ or $o\left(y\right)\mid o\left(x\right)$. In this paper, we will show that $G\cong Sz\left(q\right)$ if and only if $𝒮\left(G\right)\cong 𝒮\left(Sz\right(q\left)\right)$, where $q=2^{2m+1}\ge 8$.

For a graph G and a vertex-coloring c:V(G) → 1,2, ...,k, the color code of a vertex v is the (k+1)-tuple (a₀,a₁, ...,aₖ), where a₀ = c(v), and for 1 ≤ i ≤ k, $a_i$ is the number of neighbors of v colored i. A recognizable coloring is a coloring such that distinct vertices have distinct color codes. The recognition number of a graph is the minimum k for which G has a recognizable k-coloring. In this paper we prove three conjectures of Chartrand et al. in [8] regarding the recognition number of cycles...

Let G be a connected graph and let c:V(G) → 1,2,...,k be a coloring of the vertices of G for some positive integer k (where adjacent vertices may be colored the same). The color code of a vertex v of G (with respect to c) is the ordered (k+1)-tuple code(v) = (a₀,a₁,...,aₖ) where a₀ is the color assigned to v and for 1 ≤ i ≤ k, $a_i$ is the number of vertices adjacent to v that are colored i. The coloring c is called recognizable if distinct vertices have distinct color codes and the recognition number...

In this paper we show that methods for recognizing Cartesian graph bundles can be generalized to weighted digraphs. The main result is an algorithm which lists the sets of degenerate arcs for all representations of digraph as a weighted directed Cartesian graph bundle over simple base digraphs not containing transitive tournament on three vertices. Two main notions are used. The first one is the new relation ${}^{\to }\delta *$defined among the arcs of a digraph as a weighted directed analogue of the well-known relation...

This paper deals with the reconstructibility of Boolean control networks (BCNs) with time delays in states. First, a survey on the semi-tensor product, weighted pair graph, constructed forest and finite automata is given. Second, by using the weighted pair graph, constructed forest and finite automata, an algorithm is designed to judge whether a Boolean control network with time delays in states is reconstructable or not under a mild assumption. Third, an algorithm is proposed to determine the current...