Carlitz a défini sur ${𝔽}_q$ une fonction $\zeta$ et une série formelle $II$, analogues respectivement à la fonction $\zeta$ de Riemann et au réel $\pi$. Yu a montré, en utilisant les modules de Drinfeld, que $\zeta \left(s\right)/I{I}^3$ est transcendant pour tout $s$ non divisible par $q-1$. Nous donnons ici une preuve «automatique» de la transcendance de $\zeta \left(s\right)/I{I}^3$ pour $1\le s\le q-2$, en utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy.

Soient $C$ le module de Carlitz, $H$ un polynôme de ${𝔽}_q\left[T\right]$ et $𝔖$ l’ensemble $\{C_a\left(H\right)\mid a\in {𝔽}_q\left[T\right]\}$. Nous montrons qu’une fonction entière de type quadratique $\<\frac{1}{4degH}$ qui prend des valeurs entières sur $𝔖$, est polynomiale. De plus, la borne $\frac{1}{4degH}$ est optimale. Ceci est un analogue en caractéristique finie du théorème de Gel’fond-Pólya.

Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant$$(*)\forall x\in {\mathbf{R}}^2,f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=\pm 1}{{ϵ}^{\text{'}}=\pm 1}}f(x+(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\left)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=\pm 1}{{ϵ}^{\text{'}}=\pm 1}}f(x+a(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\left)\right).$$Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^{\infty }$ du système d’équations; l’idéal de ${ℰ}^{\text{'}}({\mathbf{R}}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière...

In a recent work we gave some estimations for exponential sums of the form ${\sum }_{n\le x}\Lambda \left(n\right)exp\left(2i\pi (f\left(n\right)+\beta n)\right)$, where Λ denotes the von Mangoldt function, f a digital function, and β a real parameter. The aim of this work is to show how these results can be used to study the statistical properties of digital functions along prime numbers.

Soit $\Gamma$ un sous-groupe de rang maximal d’un corps de nombres $𝐤$. On montre qu’une fonction entière, envoyant $\Gamma$ dans l’anneau des entiers d’une extension finie de $𝐤$, de croissance analytique et arithmétique faibles est un polynôme. Ce résultat étend un théorème bien connu de Pólya. On montre également que ce résultat est à constante près optimal.