Soit $\theta$ un nombre réel, avec $\theta \>1,$ et soit $A_{\left[\theta \right]}$ l’ensemble des nombres $P\left(\theta \right)$ pour $P$ décrivant les polynômes à coefficients dans $\{0,1,...,[\theta \left]\right\}.$ En utilisant des résultats d’Yves Meyer sur les ensembles harmonieux, on montre que $\theta$ est un nombre de Pisot si et seulement si l’ensemble $A_{\left[\theta \right]}\cup (-A_{\left[\theta \right]})$ est un ensemble de Meyer, et on déduit quelques résultats déjà prouvés par Y. Bugeaud ou P. Erdös et V. Komornik, sur le spectre des nombres de Pisot. Les mêmes outils permettent aussi de montrer que pour $\epsilon \in ]0,1],$ les $\epsilon$-nombres de Pisot appartenant...

Let $L(\theta ,\lambda )$ be the set of limit points of the fractional parts $\left\{\lambda {\theta }^n\right\}$, $n=0,1,2,\cdots$, where $\theta$ is a Pisot number and $\lambda \in \mathbb{Q}\left(\theta \right)$. Using a description of $L(\theta ,\lambda )$, due to Dubickas, we show that there is a sequence ${\left({\lambda }_n\right)}_{n\ge 0}$ of elements of $\mathbb{Q}\left(\theta \right)$ such that $Card\left(L(\theta ,{\lambda }_n)\right)<Card\left(L(\theta ,{\lambda }_{n+1})\right)$, $\forall$$n\ge 0$. Also, we prove that the...

A complex number α is said to satisfy the height reducing property if there is a finite subset, say F, of the ring ℤ of the rational integers such that ℤ[α] = F[α]. This property has been considered by several authors, especially in contexts related to self affine tilings and expansions of real numbers in non-integer bases. We prove that a number satisfying the height reducing property, is an algebraic number whose conjugates, over the field of the rationals, are all of modulus one, or all of modulus...

The purpose of this paper is to prove that the common terms of linear recurrences $M(2a,-1,0,b)$ and $N(2c,-1,0,d)$ have at most $2$ common terms if $p=2$, and have at most three common terms if $p>2$ where $D$ and $p$ are fixed positive integers and $p$ is a prime, such that neither $D$ nor $D+p$ is perfect square, further $a,b,c,d$ are nonzero integers satisfying the equations $a^2-D{b}^2=1$ and $c^2-(D+p)d^2=1$.

Let G be a commutative algebraic group defined over a number field K that is disjoint over K from ${}_a$ and satisfies the condition of semistability. Consider a linear form l on the Lie algebra of G with algebraic coefficients and an algebraic point u in a p-adic neighbourhood of the origin with the condition that l does not vanish at u. We give a lower bound for the p-adic absolute value of l(u) which depends up to an effectively computable constant only on the height of the linear form, the height...

Hecke groups $H\left({\lambda }_q\right)$ are the discrete subgroups of $\mathrm{P}SL(2,ℝ)$ generated by $S\left(z\right)=-{(z+{\lambda }_q)}^{-1}$ and $T\left(z\right)=-\frac{1}{z}$. The commutator subgroup of $H$(${\lambda }_q)$, denoted by $H^{\text{'}}\left({\lambda }_q\right)$, is studied in [2]. It was shown that $H^{\text{'}}\left({\lambda }_q\right)$ is a free group of rank $q-1$. Here the extended Hecke groups $\overline{H}\left({\lambda }_q\right)$, obtained by adjoining $R_1\left(z\right)=1/\overline{z}$ to the generators of $H\left({\lambda }_q\right)$, are considered. The commutator subgroup of $\overline{H}\left({\lambda }_q\right)$ is shown to be a free product of two finite cyclic groups. Also it is interesting to note that while in the $H\left({\lambda }_q\right)$ case, the index of $H^{\text{'}}\left({\lambda }_q\right)$ is changed by $q$, in the case of $\overline{H}\left({\lambda }_q\right)$, this number is either 4 for...

Les variétés abéliennes principalement polarisées admettent un espace des modules grossier qu’on sait compactifier de plusieurs façons (compactification de Satake, compactifications toroïdales). Cependant, le problème s’est posé de construire une compactification “modulaire”en termes d’objets géométriques qui permettent de décrire les points du bord. On souhaite aussi compactifier l’application de Torelli qui à chaque courbe algébrique, projective et lisse, associe sa jacobienne. L’exposé présente...

Nous construisons la compactification minimale de certaines variétés modulaires de Siegel en leurs places de mauvaise réduction. Ces variétés paramètrent des schémas abéliens principalement polarisés munis d’une structure de niveau parahorique en un nombre premier $p$ et d’une structure de niveau auxilliaire  ; elles ont mauvaise réduction en $p$. Nous esquissons également une théorie arithmétique des formes modulaires de Siegel associées à ces variétés.

Soit $f$ un revêtement ramifié de ${𝐏}_1$ défini sur $\overline{𝐐}$. Lorsqu’on s’intéresse aux propriétés de rationalité de $f$ sur les les corps de nombres, on peut soit exiger que la base soit ${𝐏}_1$, soit l’autoriser à être une courbe de genre $0$. Nous comparons ces deux points de vue pour les revêtements non ramifiés en dehors de $\left\{0,1,\infty \right\}$

Using both class field and Kummer theories, we propose calculations of orders of two Selmer groups, and compare them: the quotient of the orders only depends on local criteria.