Sia $B$ un'algebra di quaternioni indefinita su $\mathbf{Q}$ di discriminante divisibile per un primo $p$. Introduciamo lo spazio delle forme automorfe quaternioniche di livello $p^s$ e l'algebra degli operatori di Hecke che vi agisce. Utilizzando la corrispondenza di Jacquet-Langlands mostriamo che quest'algebra è un quoziente di un'algebra di Hecke classica (privata dell'operatore $T_p$). Ne deduciamo proprietà di finitezza e di compatibilità per cambiamento di base per l'algebra di Hecke quaternionica.

Soient $p_1\equiv p_2\equiv 1(mod8)$ des nombres premiers tels que, $\left(\frac{p_1}{p_2}\right)=-1$ et $\left(\frac{2}{a+b}\right)=-1$, où $p_1{p}_2=a^2+b^2$. Soient $i=\sqrt{-1}$, $d=p_1{p}_2$, $𝕜=\mathbb{Q}(\sqrt{d},i)$, ${𝕜}_2^{\left(1\right)}$ le 2-corps de classes de Hilbert de $𝕜$ et ${𝕜}^{(*)}=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},i)$ le corps de genres de $𝕜$. La 2-partie $C_{𝕜,2}$ du groupe de classes de $𝕜$ est de type $(2,2,2)$, par suite ${𝕜}_2^{\left(1\right)}$ contient sept extensions quadratiques non ramifiées ${𝕂}_j/𝕜$ et sept extensions biquadratiques non ramifiées ${𝕃}_j/𝕜$. Dans ce papier on s’intéresse à déterminer ces quatorze extensions, le groupe $C_{𝕜,2}$ et à étudier la capitulation des 2-classes d’idéaux de $𝕜$ dans ces extensions.

1. Introduction. Dickson a conjecturé en 1909 dans [4] que toute forme binaire Q(X,Y) de degré pair 2r, r>1, à coefficients dans un corps fini ${}_q$ de caractéristique différente de 2 telle que, pour tout (a,b) de ${}_q{\times }_q$ distinct de (0,0), Q(a,b) soit un carré non nul de ${}_q$ est un carré dès que q dépasse une certaine borne $N_r$ qui ne dépend que de r. Cette conjecture a été démontrée en 1947 par Carlitz dans [1] où il a montré que, si d est un entier ≥2, q une puissance d’un nombre premier impair telle que...

Let Ω(n) and ω(n) denote the number of distinct prime factors of the positive integer n, counted respectively with and without multiplicity. Let $d_k\left(n\right)$ denote the Piltz function (which counts the number of ways of writing n as a product of k factors). We obtain a precise estimate of the sum ${\sum }_{n\le x,\Omega \left(n\right)-\omega \left(n\right)=q}f\left(n\right)$ for a class of multiplicative functions f, including in particular $f\left(n\right)=d_k\left(n\right)$, unconditionally if 1 ≤ k ≤ 3, and under some reasonable assumptions if k ≥ 4. The result also applies to f(n) = φ(n)/n (where φ is the totient...