Dans cet article, on étudie la régularité d’une solution réelle, appartenant à $H^s$ pour $s$ assez grand, d’une équation aux dérivées partielles strictement hyperbolique et fortement non linéaire d’ordre deux. On suppose que les données de Cauchy sur une hypersurface spatiale lisse sont régulières en dehors d’un point, et ont une singularité conormale en ce point; on démontre alors que la réunion $\Gamma$ des bicaractéristiques nulles issues de ce point est, en dehors de ce point, une hypersurface lisse et...

Cet article considère des équations aux dérivées partielles non linéaires de la forme $F(x,X^{\alpha }u)=0$, $\left|\alpha \right|\le m$, où les $X_1,...,X_p$ sont des champs de vecteur vérifiant la condition de Hörmander. Soit $u$ une solution réelle de classe $C^{2m+1}$; on suppose que la localisation de l’opérateur linéarisé sur le groupe de Lie associé au système $\left\{X_j\right\}$ est hypoelliptique; nous démontrons sous ces hypothèses que $u$ est de classe $C^{\infty }$.

On démontre des résultats de régularité $L^{\infty }$ et höldérienne pour la solution d’une inéquation parabolique, formulation faible du problème suivant :$$\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}-\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}{B}_i(x,t,u,\nabla u)+B_0(x,t,u,\nabla u)=0\text{dans}\Omega \times ]0,T[;}\hfill \\ {\displaystyle u\ge 0,\frac{\partial u}{\partial {\nu }_B}\ge 0,\frac{\partial u}{\partial {\nu }_B}=0\text{dans}\partial \Omega \times ]0,T[;u(x,0)=u_0\left(x\right)\text{dans}\Omega .}\hfill \end{array}\right.$$

Nous prouvons que pour toute solution $u$ du problème de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillons pour l’équation d’Euler bi-dimensionnelle, définie localement en temps, la courbe de saut de $u$ et la densité de tourbillon sont analytiques (sous une hypothèse de régularité Holderienne de la courbe de saut). Nous donnons également un résultat de régularité partielle de la trace de $u$ sur $t=0$ lorsque $u$ est définie sur un demi-interval $[O,T[$.

Nous prouvons que pour toute solution u du problème de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillons pour l'équation d'Euler bi-dimensionnelle, définie localement en temps, la courbe de saut de u et la densité de tourbillon sont analytiques (sous une hypothèse de régularité Holderienne de la courbe de saut). Nous donnons également un résultat de régularité partielle de la trace de u sur t=0 lorsque u est définie sur un demi-interval [O,T[.

$0.1${ll (uij+aij(x,u, u))=K(x) f(x,u, u) in Rn u| = . dove la curvatura $K$ soddisfa $K>0$ in $\mathrm{\Omega }$, $K=0$$dK\ne 0...$