Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel

Rose-Marie Hervé

Annales de l'institut Fourier (1962)

  • Volume: 12, page 415-571
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot.Dans un espace Ω localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le 3e est une propriété de convergence par croissance, qui, pour certaines questions, est renforcée en une propriété du type de Harnack.Les fonctions surharmoniques sont alors définies comme dans le cas classique, à l’aide des domaines réguliers et de la solution du problème de Dirichlet correspondant. Soit S + l’ensemble des fonctions surharmoniques ≥ 0 dans Ω  ; on suppose qu’il existe au moins une fonction ∈ S + , non harmonique dans Ω .Une première partie de ces recherches est centrée sur un théorème de partition, permettant de décomposer toute fonction ∈ S + en deux autres, dont l’une est harmonique dans un ouvert ω donné et l’autre harmonique dans le complémentaire de ω ‾ . Ce théorème est le point de départ de la représentation intégrale des fonctions ∈ S + , que l’on effectue en appliquant la théorie de G. Choquet sur les représentations intégrales, dans les cônes convexes, à l’aide des points extrémaux. On définit, pour cela, une topologie sur S + , rendant ce cône métrisable et localement compact.Une autre partie de ces recherches définit et étudie, sous des hypothèses un peu plus restreintes, les fonctions harmoniques adjointes à un système donné de fonctions harmoniques, généralisant les solutions de l’équation adjointe à une équation aux dérivées partielles du second ordre, de type elliptique : L u = 0 .Le dernier chapitre est consacré à l’étude des fonctions harmoniques, et harmoniques adjointes, associées à l’équation L u = 0 .

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Hervé, Rose-Marie. "Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel." Annales de l'institut Fourier 12 (1962): 415-571. <http://eudml.org/doc/73789>.

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